14 de abr de 2013

Semelhança no Círculo

Sejam $O$ um ponto do plano e $r$ um número real positivo. O círculo de centro $O$ é o conjunto dos pontos que estão a uma distância $\leq r$ do ponto $O$. Ou seja, o círculo de centro $O$ e raio $r$ é a reunião de todos os pontos da reta de comprimento $r$ traçados no plano a partir do ponto $P$. A palavra raio é usada para designar cada um desses segmentos.

Definição $1$: O conjunto dos pontos do plano situados a uma distância $r$ do centro $O$ é a linha que delimita o círculo, chamada de circunferência. Daí segue que dois círculos são congruentes se seus raio são iguais.

Às vezes, usa-se a palavra círculo para designar essa linha, tal como o círculo trigonométrico. O próprio Euclides cometia este abuso de linguagem.

Teorema $1$: Dois círculos quaisquer são semelhantes e a razão de semelhança é a razão entre seus raios.

Demonstração: Vamos supor que o círculo $C_1$ de raio $r$ e o círculo $C_2$ de raio $s$ possuam o mesmo centro $O$. A homotetia de centro em $O$ e razão $k=s/r$ transforma cada segmento de reta de origem em $O$ e o comprimento $r$ num segmento de origem $O$ e comprimento $s$ situado sobre a mesma reta. Logo, essa homotetia define uma semelhança entre $C_1$ e $C_2$.

[Figura 1]



Definição $2$: Homotetia de uma figura $F$ com centro em $O$ e razão $k$ é uma transformação geométrica que associa a cada ponto $P$ da figura $F$, um ponto $P^{\prime}$ sobre a semi-reta $OP$, de origem em $O$, gerando uma figura $F^{\prime}$ proporcional à $F$, tal que $OP^{\prime}=k \cdot OP$.
[Figura 3]
Dois círculos são sempre homotéticos. Nos casos de círculos disjuntos, os centros de homotetia são as intersecções das tangentes internas e das tangentes externas.

[Figura 2]

Teorema $2$: Dois arcos de circunferência são semelhantes se, e somente se, subtendem o mesmo ângulo central. 

Demonstração: Sejam $AB$ e $A^{\prime}B^{\prime}$ arcos de circunferência nos círculos de centro $O$ e $O^{\prime}$ respectivamente, subtendendo os ângulos centrais $\theta=\angle AOB$ e $\theta^{\prime}=\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}$. Sejam $M$ e $M^{\prime}$ os pontos médios de $AB$ e $A'B'$ respectivamente.

[Figura 4]

Toda semelhança entre os arcos $AB$ e $A'B'$ determina uma semelhança entre os triângulos $\triangle AMB$ e $\triangle A'M'B'$, logo os ângulos $\angle M$ e $\angle M'$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre os ângulos centrais $\theta$ e $\theta '$, pois $\theta=360^\circ - 2\angle M$ e $\theta '-2\angle M'$. Assim, arcos semelhantes subtendem o mesmo ângulo central. Reciprocamente, suponhamos que os arcos $AB$ e $A'B'$ subtendem ângulos centrais iguais. Supondo ainda que os círculos onde estão situados esses arcos são concêntricos, a homotetia com este centro, que leva um círculo no outro, é uma semelhança entre os arcos dados.

Referências:

[1] Medida e Forma em Geometria - Elon Lages Lima


Veja mais: 

A Área do Círculo
Intersecção de Circunferências
Ângulos Entre Circunferências e Circunferências Ortogonais

Um comentário:

  1. Rapaz , seu site está com algum problema. O Fatos matematicos estava assim ultimamente. Tenta resolver. Muito obrigado.

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