27 de jul de 2013

O Código Binário dos Sentidos

Apesar de ser o cérebro que nos permite ter sensações, ele mesmo não é sensível: uma luz, um toque ou um som diretamente sobre o cérebro exposto não provocam sensação alguma. Se o cérebro "vê" um filme ou "ouve" uma canção, é porque algum outro órgão, este sim sensível, passa-lhe a mensagem.

Grandes descobertas nem sempre são propositais, e não foi pensando no cérebro ou nos sentidos que o fisiologista inglês Edgar Adrian $(1889-1977)$ fez os primeiros experimentos que o levaram a descobrir o código sensorial  nas primeiras décadas do século $20$. A questão na verdade começou com a contração muscular. Antes de receber Adrian em seu laboratório em Cambridge, na Inglaterra, o fisiologista inglês Keith Lucas $(1879-1916)$ tinha uma pergunta que não lhe saía da cabeça: como é possível um músculo contrair-se apenas parcialmente? Por que a contração não é sempre total? Lucas via duas possibilidades: ou todas as fibras do músculo se contraem parcialmente, ou apenas algumas se contraem, mas inteiramente. Sem muita tecnologia ao sei dispor, ele fez um experimento simples e criativo: mediu o encurtamento de umminúsculo pedaço, com poucas fibras, de um músculo intercostal de rã em resposta a uma pequena corrente elétrica progressivamente mais forte. O resultado foi uma "escadinha" e não uma contração gradual, indicando que cada fibra ou encurta totalmente, ou não encurta nada. E suas próprias palavras, a contração das fibras musculares é "tudo ou nada".

Edgar Adrian estabeleceu as características "tudo ou nada" do potencial de ação, abrindo caminho para a elucidação dos seus mecanismos iônicos. O primeiro registro intercelular do potencial de ação foi conseguido em 1939 por Andrew Hodgkin e Alan Huxley, utilizando o amplificador aperfeiçoado por Adrian. A escala na ordenada representa milivolts.
 Em $1911$, quando Adrian entrou para o laboratório de Lucas, a questão havia se transferido para o nervo: Lucas acreditava que o que provoca a contração total de apenas algumas fibras é um sinal nervoso também total sobre poucas fibras, e não um sinal progressivo para o músculo todo. Resolver a questão coube a Adrian. A ideia era simples: usar vapor de álcool para enfraquecer a transmissão do impulso em um ponto do nervo, mas sem bloqueá-la, e medir quanto álcool era necessário em um segundo ponto mais abaixo para, agora sim, bloquear o impulso. Se o impulso diminuísse após o primeiro ponto, seria necessário menos álcool no segundo ponto para bloqueá-lo. Se fosse do tipo "tudo ou nada", o impulso deveria atravessar intacto o primeiro ponto, e mais álcool seria necessário para bloqueá-lo no segundo ponto. Foi exatamente isto que Adrian observou.

Mas logo veio a Primeira Guerra Mundial, perturbando os planos para os experimentos seguintes. Adrian e Lucas deixaram o laboratório para ajudar o país. Adrian foi para Londres, formou-se em Medicina e deu assistência às vítimas da guerra. Lucas, infelizmente, morreu em um desastre aéreo. Adrian voltou a Cambridge em $1919$ e, ao perguntar onde deveria trabalhar agora que Lucas não estava mais lá, recebeu as chaves do laboratório do seu mestre.

A guerra tinha produzido avanços tecnológicos importantes como a válvula eletrônica a vácuo, que permitia a amplificação de sinais com um mínimo de distorção. Com essa válvula, o americano e também fisiologista Alexander Forbes construiu um amplificador que aumentava o sinal elétrico do potencial de ação de um inusitado fator de $50$ vezes. Adrian convidou-o para uma colaboração, e em $1921$ Forbes chegava a Cambridge trazendo peças para montar um amplificador no laboratório.

Adrian quis testar o amplificador da maneira mais simples e barata que conhecia: usando um nervo da coxa de uma rã. O objetivo agora era conseguir registrar impulsos não só no nervo como um todo, mas em um único neurônio. Tentou registrar nervos com poucas fibras, mas ainda era como registrar um cabo telegráfico passando várias mensagens ao mesmo tempo. Até que um dia, antes de encerrar o expediente, seu colaborador Yngve Zotterman decidiu usar uma técnica a la Lucas: ir cortando o músculo até restar somente um feixe de fibras com um só fuso ainda ligado ao nervo, mandando sinais por um axônio.

Zotterman e Adrian comprovaram naquele mesmo experimento a natureza tudo ou nada do sinal nervoso: os potenciais de ação de um axônio tinham todos o mesmo tamanho e trafegavam à mesma velocidade. E, estirando o músculo um pouco mais ou um pouco menos, revelou-se o código dos sentidos: mais potenciais do mesmo tamanho para estímulos mais fortes, menos potenciais para estímulos mais fracos. Era o código binário em sua versão neural: ou tem um potencial de ação, ou não tem nada.

Referências:

[1] Cem Bilhões de Neurônios? - Conceitos Fundamentais de Neurociência - Roberto Lent


Veja mais: 

Potencial de ação
Edgar Adrian
O Teorema de Hardy-Weinberg

16 de jul de 2013

Equação das Bissetrizes dos Ângulos Formados por Duas Retas Concorrentes

Nesta postagem veremos como construir a bissetriz de um ângulo dado utilizando apenas régua e compasso e também como obter a equação das bissetrizes dos ângulos formado por duas retas concorrentes fazendo uso da Geometria Analítica.
[Figura 1]

Primeiramente, vamos considerar um ângulo $A\hat{V} B$. É verdade que existe um ponto interno que é equidistante aos lados deste ângulo. Na verdade, existem infinitos pontos.
[Figura 2]

A reunião desses infinitos pontos, sendo esses equidistantes aos lados do ângulo, geram uma semirreta notável denominada bissetriz, dividindo o ângulo $A \hat{V} B$ em dois ângulos iguais.

Ampliando esta ideia, vamos considerar as retas $r$ e $s$ concorrentes no ponto $V$. Ao invés de um ângulo, teremos quatro ângulos e para cada um deles teremos pontos equidistantes aos respectivos lados e a reunião desses pontos constitui as bissetrizes dos ângulos. Essas bissetrizes formam duas novas retas $b_1$ e $b_2$, perpendiculares entre si.

[Figura 3]

Definição: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes $r$ e $s$, constitui um par de retas perpendiculares, as quais contém as bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas $r$ e $s$.

Construção Geométrica

Seja dado um ângulo arbitrário de vértice $V$. Para construirmos a bissetriz do ângulo, procedemos como se segue.

$1)$ Descreva um arco de circunferência de raio $r$ centrado em $V$, interceptando os lados do ângulo nos pontos $A$ e $B$;
$2)$ Com centro em $A$, e depois em $B$, descreva dois arcos de circunferência de mesmo raio que se interceptam num ponto $P$;
$3)$ A bissetriz é a semirreta de origem em $V$ que passa pelo ponto $P$.

[Figura 4]

Equação das Bissetrizes

Sejam duas retas concorrentes definidas como $r: a_1x+b_1y+c_1=0$ e $s:a_2x+b_2y+c_2=0$, que se interceptam em um ponto $V$. Se $P(x,y)$ é um ponto genérico de uma bissetriz, sendo $P\neq V$, então $P$ equidista das retas $r$ e $s$.
\begin{equation}
d_{Pr}=d_{Ps}
\end{equation}
Já vimos que a fórmula da distância de um ponto a uma reta é dada por:
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{\mid ax + by +c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}
Assim temos que:
\begin{equation}
\left\{
\begin{matrix}
d_{Pr}=\frac{\mid a_1x+b_1y+c_1=0\mid}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\\
d_{Ps}=\frac{\mid a_2x+b_2y+c_2=0\mid}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\end{matrix}
\right.
\end{equation}
E pela equação dada em $(1)$:
\begin{equation}
\frac{\mid a_1x+b_1y+c_1=0\mid}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{\mid a_2x+b_2y+c_2=0\mid}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}
\end{equation}
Os denominadores não podem ser negativos, de modo que se existir alguma razão negativa será devido ao módulo nos numeradores. Se temos $\mid x\mid=\mid y\mid$, então $x=\pm y$. logo, podemos reescrever a equação $(4)$ como:
\begin{equation}
\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}
\end{equation}
Vejam que o sinal de $\pm$ na equação $(5)$ permite dois resultados distintos, o que remete a duas bissetrizes. Isso é perfeitamente explicável pelo fato de que, dadas as retas concorrentes $r$ e $s$, estas formarão dois pares de ângulos opostos pelo vértice e para cada par de ângulos, teremos uma bissetriz.
[Figura 5]

Uma propriedade importante das bissetrizes dos ângulos formados por duas retas concorrentes é que sempre serão perpendiculares entre si. Esta é a condição de existência das bissetrizes.

Sejam duas retas concorrentes $r$ e $s$ não perpendiculares entre si. Sejam $2 \alpha$ o ângulo agudo entre as retas $r$ e $s$ e seja $2 \beta$ o ângulo obtuso dado por $2\beta = 180°-2\alpha$.
[Figura 6]

Queremos provar que $\alpha + \beta = 90°$. Vejam que $2 \beta=180°-2\alpha$ e $\displaystyle \beta = \frac{1}{2}(180°-2\alpha)$. Assim:
\begin{equation}
\alpha+\beta=\alpha+\frac{1}{2}(180°-2\alpha)=\alpha+90°-\alpha=90°
\end{equation}
Outra forma de demonstrar a perpendicularidade entre as bissetrizes é que, considerando a imagem acima, temos a relação:
\begin{equation}
\begin{matrix}
4\alpha + 4\beta=360°\\
4(\alpha+\beta)=360°\\
\alpha + \beta=90°
\end{matrix}
\end{equation}

Exemplo $1$: Sejam as retas $r:3x+2y-7=0$ e $s:2x-3y+1=0$. Determinar as equações de suas bissetrizes.

Aplicando a fórmula das bissetrizes dada em $(5)$, temos:
$$\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
$$\frac{ 3x+2y-7=0}{\sqrt{3^2+2^2}}=\pm \frac{2x-3y+1=0}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}$$
$$\frac{ 3x+2y-7=0}{\sqrt{13}}=\pm \frac{2x-3y+1=0}{\sqrt{13}}$$
$$3x+2y-7=\pm 2x-3y+1$$
$$b_1: 3x+2y-7=2x-3y+1 \Rightarrow x+5y-8=0$$
$$b_2: 3x+2y-7=-2x+3y-1 \Rightarrow 5x-y-6=0$$
Pelo teorema das retas perpendiculares, duas retas serão perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra:
$$m_1\cdot m_2=-1$$
Os coeficientes angulares de $b_1$ e $b_2$ são dados respectivamente por:
$$m_1=-\frac{a_1}{b_1} \qquad \text{e} \qquad m_2=-\frac{a_2}{b_2}$$
Assim:
$$m_1\cdot m_2=-\frac{1}{5}\cdot 5=-1$$
Comprovando a perpendicularidade entre as bissetrizes.

Exemplo $2$: Sejam as retas $r: x-3y+5=0$ e $s: 6x-2y-3=0$. Obter as equações das bissetrizes.

Aplicando a fórmula das bissetrizes, obtemos:
$$\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
$$\frac{ x-3y+5=0}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{\sqrt{6^2+(-2)^2}}$$
$$\frac{x-3y+5=0}{\sqrt{10}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{2\sqrt{10}}$$
$$\frac{2(x-3y+5=0)}{\sqrt{10}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{\sqrt{10}}$$ 
$$2x-6y+10=\pm 6x-2y-3$$
$$b_1: 2x-6y+10=6x-2y-3 \Rightarrow 4x+4y-13=0$$
$$b_2: 2x-6y+10=-6x+2y+3 \Rightarrow 8x-8y+7=0$$
Para comprovar a perpendicularidade entre as bissetrizes, fazemos:
$$m_1=-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{4}{4}=-1 \qquad \text{e} \qquad m_2=-\frac{a_2}{b_2}=\frac{8}{8}=1$$
Assim:
$$m_1\cdot m_2=-1 \cdot 1=-1$$

Veja mais: 

Distância de um Ponto a uma Reta
Distância entre Dois Pontos no Plano
Teorema da Bissetriz Interna
Teorema da Bissetriz Interna Através da Leis dos Senos  no blog Fatos Matemáticos

11 de jul de 2013

Um Pouco Sobre Logaritmos e Suas Propriedades Operatórias

Na antiguidade, os babilônios foram os que mais se interessaram pela Astronomia e durante séculos enfrentaram problemas com os cálculos que eram muito trabalhosos.

Os logaritmos surgiram para simplificar cálculos, já que transformam multiplicação em soma e divisão em subtração, dando um salto na Matemática e na Astronomia.

O termo logaritmo foi criado por Napier, que vem de logos e arithmos, que significam razão e número, respectivamente, e aparece em sua obra de $1614$ Mirifice Logarithmorum Canonis Descriptio (uma descrição das maravilhas dos logaritmos).

Contudo, acredita-se que foi a publicação do livro Arithmetica Integra, do matemático alemão Michael Stifel, em $1544$, que inspirou o trabalho de Napier e Bürgi. Em seu livro, Stifel comparou as seguintes sequências numéricas:
 
Com base nessas sequências, para calcular, por exemplo, $16 \times 64$, bastava somar os números correspondentes a $16$ e a $64$ na linha de cima. O número $16$ na linha de baixo corresponde a $4$ na linha de cima; o número $64$ na linha de baixo, corresponde a $6$ na linha de cima. Basta somar $4+6=10$. O resultado desta multiplicação é o número correspondente a $10$ na linha de baixo, ou seja $1024$. Assim, $16 \times 64=1024$.

A publicação teve sucesso imediato e Napier, juntamente com o entusiasta e professor de Oxford Henry Brigs, concordaram em adotar o uso de potências de dez.

Na mesma época, Jobst Bürgi obteve resultados semelhantes, mas de forma independente. Na verdade, talvez Bürgi já tivesse sua teoria em $1588$, mas sua publicação só veio em $1620$.

Para maiores informações sobre o desenvolvimento dos logaritmos, sugiro a leitura dos artigos abaixo citados:

• Os logaritmos segundo Napier
• Stifel, Bürgi e a criação dos logaritmos
• A construção da primeira tábua de logaritmos decimais por Briggs

Logaritmo

Definição: Sejam dois números reais positivos $a$ e $b$. Chama-se logaritmo de $b$ na base $a$ o expoente que se deve dar à base $a$ de modo que a potência obtida seja igual a $b$.
$$\log_a b=x \Leftrightarrow a^x=b$$
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$, $0<a \neq 1$ e $b>0$.

No logaritmo dado acima, temos que $a$ é a base do logaritmo, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo.

Exemplo $1$: Calcular os logaritmos dados:
$a) \log_2 8 \Rightarrow \log_2 8=x \Rightarrow 2^x=8 \Rightarrow 2^x=2^3\Rightarrow x=3$
$b)\log_3 3 \Rightarrow \log_3 3=x \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow x=1$
$c)\log_4 1 \Rightarrow \log_4 1=x \Rightarrow 4^x=1 \Rightarrow x=0$
$d)\log_4 8 \Rightarrow \log_4 8=x \Rightarrow 4^x=8 \Rightarrow 2^{2x}=2^3 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x= 3/2$
$e)\log_{1/4}32 \Rightarrow \log_{1/4}32=x \Rightarrow \displaystyle \left( \frac{1}{4}\right)^x=2^5 \Rightarrow 2^{-2x}=2^5 \Rightarrow -2x=5 \Rightarrow x = -5/2$


Antilogaritmo

Definição: Sejam dois números reais positivos $a$ e $b$, com $a \neq 1$. Se o logaritmo de $b$ na base $a$ é $x$, então $b$ é o antilogaritmo de $x$ na base $a$.
$$\log_a b=x \Leftrightarrow anti\log_a x = b$$
Antilogaritmo é o nome adotado na representação de tabelas de logaritmos com significado equivalente à exponenciação e é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Por exemplo, o logaritmo de $8$ na base $2$ é $3$ e o antilogaritmo de $3$ na base $2$ é $8$.

Exemplo $2$:
$a) anti\log_2 8=x \Rightarrow \log_2 x=8 \Rightarrow 2^8=x \Rightarrow x=256$
$b) anti\log_3 3=x \Rightarrow \log_3 x=3 \Rightarrow 3^3=x \Rightarrow x=27$


Algumas Consequências da Definição de Logaritmos

$1-$ O logaritmo de $1$ em qualquer base é igual a zero.
$$\log_a 1=0$$
Pois $a^0=1$, sendo $a > 0$

$2-$ O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.
$$\log_a a=1$$
Pois $a^1=a, \forall a > 0$.

$3-$ A potência de base $a$ e expoente $\log_a b$ é igual a $b$.
$$a^{\log_a b}=b$$
Fazemos $ \log_a b=x$, então:
$$a^x=b$$
Mas $x=\log_a b$, logo:
$$a^{\log_a b}=b$$
A justificativa desta propriedade se dá pelo fato e que o logaritmo de $b$ na base $a$ é o expoente que se deve dar à base $a$ para a potência obtida ser igual a $b$.

$4-$ Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmos são iguais.
$$\log_a b=\log_a c \Leftrightarrow b=c$$

Seja $\log_a b =\log_a c$. Pela definição de logaritmo, temos que:
$$a^{\log_a c}=b$$
e pela terceira consequência vem que $c=b$.

Exemplo $3$: Calcular os valores de:
$a) 8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5}=\left(2^{\log_2 5}\right)^3=5^3=125$
$b) 3^{1+\log_3 4}=3^1\cdot 3^{\log_3 4}=3\cdot 4=12$


Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Os logaritmos possuem diversas aplicações no cotidiano, seja em Matemática, Física, Química, Geologia, etc., aparecendo em fenômenos naturais, tais como terremotos, acidez do sangue, audição humana, ... O que faz dos logaritmos tão importantes são suas propriedades operatórias que torna vantajoso o seu uso em cálculos.

Logaritmo do Produto

Em qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
$$\log_a(b \cdot c)=\log_a b+\log_a c$$
Sendo $0<a \neq 1$, $b>0$ e $c>0$.

Sejam $\log_a b=x$, $\log_a c=y$ e $\log_a (b\cdot c)=z$. Devemos provar que $z=x+y$. De fato:

$ \log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$ \log_a c=y \Rightarrow a^y=c$
$ \log_a(b\cdot c)=z \Rightarrow a^z=b\cdot c$

Desta última, temos que:
$$a^z=b\cdot c\Rightarrow a^z=a^x \cdot a^y \Rightarrow a^z=a^{x+y} \Rightarrow z=x+y$$
Aqui usamos a propriedade fundamental das potências. Vejamos um exemplo:

Exemplo $4$: Calcular o logaritmo:
$$\log_2(4\cdot 8)=z \Rightarrow \log_2(2^2\cdot 2^3)=z \Rightarrow \log_2 2^{2+3}=z \Rightarrow \log_2 2^5=z \Rightarrow 2^z=2^5 \Rightarrow z=5$$
Por outro lado:
$$\log_2(4\cdot 8)=\log_2 4+ \log_2 8=\log_2 2^2 + \log_2 2^3$$
Daqui temos que $2^x=2^2 \Rightarrow x=2$ e $2^y=2^3 \Rightarrow y=3$, de modo que $\log_2(4\cdot 8)=z=x+y=2+3=5$.

Logaritmo do Quociente

Em qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
$$\log_a \left(\frac{b}{c}\right)=\log_a b-\log_a c$$
Sendo $0<1 \neq 1$, $b>0$ e $c>0$.

Sejam $\log_a b=x$, $\log_a c=y$ e $\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)=z$. Devemos provar que $z=x-y$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_a c=y \Rightarrow a^y=c$
$\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)=z \Rightarrow a^z=\frac{b}{c}$

Desta última, temos que:
$$a^z=\frac{a^x}{a^y} \Rightarrow a^z=a^{x-y} \Rightarrow z=x-y$$
Usamos novamente a propriedade fundamental das potências.

Exemplo $5$: Calcular o logaritmo usando a propriedade do quociente:
$$\log_2 \left(\frac{16}{4}\right)=\log_2\left(\frac{2^4}{2^2}\right)=\log_2 2^{4-2}=\log_2 2^2$$
Segue que $2^z=2^2 \Rightarrow z=2$. Logo, $\displaystyle \log_2\left(\frac{16}{4}\right)=2$.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de um número $c$, sendo $c \in \mathbb{R}$ e $c > 0$, numa base $a$, sendo $a \in \mathbb{R}$ e $0 < a \neq 1$, ao oposto do logaritmo de $c$ na base $a$.
$$co\log_a c=-\log_a c$$
Sendo $0<a\neq 1$ e $b>0$.

Do logaritmo do quociente, temos: $\displaystyle \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$, se fizermos $b=1$, obtemos:
$$\log_a\left(\frac{1}{c}\right)=\log_a 1-\log_a c=0 - \log_a c = -\log_a c$$
Desta forma:
$$co\log_a c=-\log_a c=\log_a \left(\frac{1}{c}\right)$$

Logaritmo da Potência

Em qualquer base $a$, sendo $0<a\neq 1$, o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
$$\log_a b^N=N\cdot \log_a b$$
Sendo $0<a\neq 1$, $b>0$ e $N \in \mathbb{R}$.

Sejam $\log_a b=x$ e $\log_a b^N=y$. Devemos provar que $y=N \cdot x$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_a b^N=y \Rightarrow a^y=b^N$
Desta última, temos:
$$a^y=b^N\Rightarrow a^y=(a^x)^N \Rightarrow y=N \cdot x$$

Um corolário desta propriedade é que para qualquer base $a$, $0<a \neq 1$, o logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é igual ao produto do inverso do índice da raiz pelo logaritmo do radicando.
$$\log_a \sqrt[N]{b} = \log_a b^{1/N}=\frac{1}{N}\log_a b$$
Sendo $0<a \neq 1$, $b>0$ e $N \in \mathbb{N}^*$$

Exemplo $6$:
$$\log_5 27=\log_5 3^3 = 3 \log_5 3$$

Mudança de Base

Para aplicarmos as propriedades operatórias, os logaritmos envolvidos devem estar numa mesma base. Se tivermos que usar uma tábua de logaritmos, teremos que converter o logaritmo para a base decimal para somente depois procurarmos o valor na tabela.

Outro caso é calcular um logaritmo utilizando uma calculadora científica. O logaritmo deve estar numa base decimal $(\log)$ ou base neperiana $(\ln)$.

Sejam $a$, $b$ e $c$ números reais positivos e $a$ e $c$ diferentes de $1$. Vale a relação:
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Seja $\log_a b=x$, $\log _c b=y$ e $\log_c a=z$, com $z \neq 0$, pois $a \neq 1$. Devemos provar que $\displaystyle x=\frac{y}{z}$. De fato:

$\log_a b=x \Rightarrow a^x=b$
$\log_c b=y \Rightarrow c^y=b$
$\log_c a=z \Rightarrow c^z=a$

Substituindo a terceira e a segunda na primeira equação, obtemos:
$$a^x=b \Rightarrow (c^z)^x=c^y \Rightarrow c^{zx}=c^y \Rightarrow zx=y \Rightarrow x=\frac{y}{z}$$

Exemplo $7$
$a)$ Converter $\log_3 5$ para base $2$.
$$\log_3 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 3}$$
$b)$ Converter $\log_2 7$ para base decimal.
$$\log_2 7=\frac{\log 7}{\log 2}$$
Para finalizar esta breve introdução às propriedades operatórias dos logaritmos, deixo uma lista de exercícios para treinar o que vimos até aqui.

Exercícios

$1 -$ Calcular pela definição, os seguintes logaritmos:
$a) \log_5 125 \qquad b) \log_4 128 \qquad c) \log_{1/9} 3\sqrt{3}$

$2 -$ Calcular:
$a)$ O número cujo logaritmo em base $3$ vale $-2$.
$b)$ A base no qual o logaritmo de $32$ vale $10$.
$c)$ Cinco elevado a $\log_5 7$.
$d)$ $3^{\log_3 2}+2^{\log_2 3}$

$3 -$ Sabendo que $\log_b x=3$ e $\log_b y=-4$, calcule:
$\displaystyle a) \log_b (x^2\cdot y) \qquad b) \log_b \left(\frac{x^4}{\sqrt[3]{4}}\right)$

$4 -$ Desenvolva os logaritmos supondo $a$, $b$ e $c$ reais positivos:

$\displaystyle a) \log_5 \left(\frac{5a}{bc} \right) \qquad b) \log\left(\frac{b^2}{10a}\right)$
$\displaystyle c) \log_3 \left(\frac{ab^2}{c} \right) \qquad d) \log_2 \left( \frac{8a}{b^3c^2} \right)$

$5 -$ Calcular as expressões:
$a) \log_{15} 3+\log_{15} 5$
$b) \log_3 72 - \log_3 12 - \log_3 2$
$c) \displaystyle \frac{1}{3} \log_{15} 8 + 2\log_{15} 2 + \log_{15} 5 - \log_{15} 9.000$

$6 -$ Sabendo que $\log_{30} 3 = a$ e $\log_{30} 5 = b$, calcular $\log 2$.

$7 -$ Se $a$, $b$ e $c$ são reais positivos, provar a igualdade abaixo:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{\log c} \cdot \left(\frac{b}{c}\right)^{\log a} \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^{\log b}=1$$

$8 -$ Um modelo da perda $L$ de propagação de sinais ente a antena transmissora e a receptora em espaço livre de obstáculos é, em decibel, expressa por:
$$L=32,44 + 20\log f + 20\log d$$
onde $f$ é a frequência em $MHz$ e $d$ é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros. Considere um sinal de radiofrequência de $600MHz$ enviado por uma estação base para uma antena receptora localizada a $20Km$ de distância. Calcule a perda de propagação desse sinal em $dB$, considerando que $\log2=0,30$ e $\log3=0,48$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar - Logaritmos
[2] Matemática, Ciência e Aplicações V1 - Gelson Iezzi et al
[3] Matemática, Contexto e Aplicações V1 - Dante


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