17 de nov de 2013

O Problema Inverso

Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento unidimensional.

Para o cálculo da velocidade instantânea $v(t)$ em um trajeto, basta conhecermos a lei horária $x=x(t)$, o que nos leva à notação:
\begin{equation}
v(t)=\frac{dx}{dt}
\end{equation}
que é o limite da variação do espaço percorrido num espaço de tempo infinitesimal:
\begin{equation}
v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \left [\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} \right ]=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\left (\frac{\Delta x}{\Delta t}\right )=\frac{dx}{dt}
\end{equation}
Se o movimento for uniforme, a velocidade instantânea se confunde com a velocidade média, sendo $v=\bar{v}=$constante, e podemos esboçar o gráfico como uma reta paralela ao eixo das abscissas:


Pela definição da velocidade média, temos que:
\begin{equation}
v=\bar{v}_{t_2 \rightarrow t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow
\Delta x=v\cdot \Delta t\Rightarrow
\Delta x=v(t_2-t_1)
\end{equation}
Vejam que o espaço percorrido equivalente à área do retângulo hachurado no gráfico $(v \times t)$ da imagem acima, compreendida entre a curva da velocidade que corta o eixo das ordenadas em $v$ e o eixo das abscissas limitadas pelos limites $t_a$ e $t_b$.

Podemos notar ainda que o retângulo pode aparecer sob o eixo das abscissas, que nos leva a um valor negativo para a área, o que significa simplesmente que $x(t_b) < x(t_1)$, correspondendo a um movimento para trás.

Para um movimento não-uniforme, em que $v$ é uma função qualquer de $t$, temos que analisar um pouco mais de perto. Num intervalo de tempo $[t_a,t_b]$, subdividimos em uma infinidade de intervalos de larguras $\Delta t_1$, $\Delta t_2$, $\Delta t_3$, $\cdots$, $\Delta t_i$, para $i=1,2,3,\cdots$ por pontos de divisão $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\cdots$, $t_i$. Vejam que se tomarmos intervalos cada vez menores, haverá uma variação muito pequena da velocidade em cada um desses intervalos e a velocidade média se confunde com a velocidade instantânea, e assim podemos calcular a distância percorrida em cada intervalo:

\begin{matrix}
\bullet \Delta x_{{t_1}\rightarrow t_a}=x(t_1)-x(t_a)=\bar{v}_{{t_1}\rightarrow t_a}\cdot \Delta t_1\approx v(t_1) \Delta t_1\\
\bullet \Delta x_{{t_2}\rightarrow t_1}=x(t_2)-x(t_1)=\bar{v}_{{t_2}\rightarrow t_1}\cdot \Delta t_2\approx v(t_2) \Delta t_2\\
\bullet\Delta x_{{t_3}\rightarrow t_2}=x(t_3)-x(t_2)=\bar{v}_{{t_3}\rightarrow t_2}\cdot \Delta t_3\approx v(t_3) \Delta t_2\\
\end{matrix}
Somando membro a membro as relações acima, obtemos o deslocamento entre os espaços de tempo $t_a$ e $t_3$:
\begin{equation}
x(t_3)-x(t_a)\approx v(t_1)\Delta t_1+v(t_2)\Delta t_2+v(t_3)\Delta t_3
\end{equation}
Se o intervalo $[t_a,t_b]$ for subdividido em uma quantidade grande de intervalos, obtemos:
\begin{equation}
x(t_b)-x(t_a)=\sum_i v(t_i)\Delta t_i
\end{equation}
Se analisarmos a figura acima, cada retângulo equivale a um termo da soma $(5)$, que por sua vez corresponde à área entre o eixo das abscissas e a poligonal em "escada" inscrita na curva de $v$, no intervalo $[t_a,t_b]$.

A soma $(5)$ se aproxima melhor do resultado exato quanto menores forem as subdivisões $\Delta t_i$. Logo, no limite em que as subdivisões tendem a zero, obtemos:
\begin{equation}
x(t_b)-x(t_a)=\lim_{\Delta t_i \rightarrow 0} \sum_i v(t_i)\Delta t_i=\int_a^b v(t)dt
\end{equation}
que é a área entre a curva $(v \times t)$ e o eixo $Ot$ entre os limites $t_a$ e $t_b$.

Exemplo: Considere um móvel que se desloca segundo a equação: $\displaystyle v(t)=\frac{1}{2}t+2$. Calcular o deslocamento efetuado durante o espaço de tempo de $0$ a $10$ segundos.

O deslocamento do móvel pode ser obtido calculando a área do trapézio, dada pela semi-soma das bases multiplicada pela altura do trapézio. Assim:
\begin{equation*}
\Delta x \approx \frac{1}{2}(v_1+v_2)(t_b-t_a)=\frac{1}{2}(2+7)(10-0)=\frac{90}{2}=45m
\end{equation*}
Podemos também verificar o resultado utilizando a integral dada em $(6)$:
\begin{matrix}
\Delta x=\int_a^b v(t)dt=\int_0^{10} \frac{1}{2}t+2 dt\\
=\left [\frac{1}{4}t^2+2t \right]_0^{10}=\frac{1}{4}\cdot 10^2+2\cdot 10=\frac{100}{4}+20=45m
\end{matrix}

Referências:
[1] Curso de Física Básica V1 - Moysés Nessenzveig

Veja mais: 

Movimento Unidimensional
Equação Horária da Velocidade
Equação de Torricelli

13 de nov de 2013

Euclides e a Geometria Dedutiva

Derrotada a batalha de Queronéia pelas forças do rei Filipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano $338a.C.$. Dois anos depois, com a morte de Filipe, seu filho Alexandre assume o poder, então com $20$ anos de idade. Ao morrer, cerca de $13$ anos depois, Alexandre incorporara ao seu império grande parte do mundo civilizado de então. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedônios (em cuja formação populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinário na história da Matemática: Alexandria, no Egito.

Com a morte de Alexandre, o domínio sobre o Egito passou às mãos de Ptolomeu, um de seus líderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao museu (templo às musas), o primeiro modelo do que viriam a ser as universidades, séculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se às pesquisas e ao ensino às custas dos cofres do Estado. Ponto alto da instalação era uma biblioteca, que chegou a ter no auge de seu esplendor, perto de $700$ mil rolos de papiro. Muitos grandes matemáticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, o primeiro talvez, e um dos mais notáveis, foi Euclides $(c. 300 a.C.)$.

Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informações esparsas. Mesmo sobre sua formação matemática não há nenhuma certeza: é possível que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Platão. Papus de Alexandria $(séc. IV)$ deixou registrados elogios à sua modéstia e consideração para com os outros. Mas sua presença de espírito talvez possa ser avaliada pela história segundo a qual, a uma indagação de Ptolomeu sobre se não haveria um caminho mais curto para a Geometria (que o proposto por Euclides), teria respondido: "Não há nenhum caminho real na Geometria". Ou seja, perante a Geometria todos são iguais, até reis poderosos como Ptolomeu.

Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente repousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da Matemática grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior parte ser uma compilação e sistematização de trabalhos anteriores sobre a matemática elementar da época, seu êxito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edições impressas em todo o mundo, desde a primeira em $1482$, um feito editorial talvez só superado pela Bíblia.

Os Elementos dedicam um bom espaço à teoria dos números (três livros), mas com o enfoque geométrico que permeia toda a obra. Euclides representava os números por segmentos de reta, assim como representava o produto de dois números por um retângulo. Contudo, a argumentação usada por ele independe da geometria. Há também no texto um pouco de álgebra geométrica, onde, por exemplo, algumas raízes dadas na forma de segmentos de retas.

Mas, sem dúvida, o forte dos Elementos é a Geometria. A partir de cinco noções comuns, cinco postulados específicos e algumas definições, centenas de teoremas ($467$ em toda a obra) são deduzidos, alguns de grande profundidade. Além de ser o mais antigo texto de matemática na forma axiomático-dedutiva a chegar a nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados básico. E soube usá-los com proficiência. Assim, não é sem motivo que os Elementos, por dois milênios, além de texto fundamental de Geometria, foi o modelo de boa matemática.

Falhas em suas estruturações lógica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo, a questão da continuidade não foi focalizada, o que levava Euclides a usar pressupostos não explicitados sobre o assunto. Tudo isso porém chegar a ser irrelevante em face da grandiosidade da obra e de sua influência científica.

Texto de Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo

Veja mais: 

Quadriláteros Notáveis
Os Elementos de Euclides
O Algoritmo de Euclides para Determinação do MDC
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - A Proposição I-47
Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas

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