13 de abr de 2014

Como Determinar o Número de Diagonais de um Polígono Convexo de $N$ Lados

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Definição $1$: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois de seus vértices não-consecutivos.

Tomando um quadrilátero qualquer, vemos que parte apenas uma diagonal de cada vértice. Por exemplo, do vértice $A$, parte apenas a diagonal $\overline{AC}$:

Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem duas diagonais: $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$:

Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem três diagonais: $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$:

O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de $4$ lados, temos $1$ diagonal partindo de um vértice; para um polígono de $5$ lados, temos $2$ diagonais partindo de um vértice; para um polígono de $6$ lados temos $3$ diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos $3$. E para um polígono de $N$ lados, teremos $N-3$ diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:


Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos $N$ vértices:
\begin{equation}
N\cdot (N-3) \: \text{diagonais}
\end{equation}
No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais $\overline{AC}= \overline{CA}$, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:
\begin{equation}
d=\frac{N(N-3)}{2}
\end{equation}
Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:

Podemos montar uma tabela:

Exemplo $1$: Calcular o número de diagonais de um polígono de $256$ lados.

Fazemos:
\begin{equation*}
d=\frac{N(N-3)}{2}=\frac{256(256-3)}{2}=32.384
\end{equation*}
Portanto, há $32.384$ diagonais num polígono de $256$ lados.

Exemplo $2$: Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do  número de lados?

Temos que $d=5N$. Então, fazemos a substituição:
\begin{equation*}
\frac{N(N-3)}{2}=5N\Rightarrow N^2-3N=10N \Rightarrow N^2-13N=0 \Rightarrow N(N-13)=0
\end{equation*}
Daqui, concluímos que ou $N=0$ ou $N=13$. Mas, não faz sentido um polígono de $0$ lados, logo tomamos $N=13$ como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.

Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:

Exemplo $3$: A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é $85$ e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Dizemos que $d_1$ é o número de diagonais do polígono de $N_I$ lados e $d_2$ o número de diagonais do polígono de $N_{II}$ lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
N_2=3N_1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Temos que:
\begin{matrix}
d_1=\frac{N_I(N_I-3)}{2} \: \text{e} \: d_2=\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}
\end{matrix}
Substituindo $d_1$ e $d_2$ na primeira equação do sistema acima, obtemos:
\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}-\frac{N_I(N_I-3)}{2}=85\\
\frac{N^2_{II}-3N_{II}}{2}-\frac{N^2_I+3N_I}{2}=85\\
N^2_{II}-3N_{II}-N^2_I+3N_I=170
\end{matrix}
Mas $N_{II}=3N_I$, assim:
\begin{matrix}
(3N_I)^2-3(3N_I)-N_I^2+3N_I=170\\
9N_I^2-9N_I-N_I^2+3N_I=170\\
8N_I^2-6N_I-170=0\\
4N_I^2-3N_I-85=0\\
N_I=\frac{3\pm \sqrt{9+1360}}{8}\\
N_I=\frac{3\pm 37}{8}\\
N_{I_1}=5\\
N_{I_2}=-34/8
\end{matrix}
A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva $5$. Assim, fazemos:
\begin{equation*}
N_{II}=3N_I \Rightarrow 3\cdot 5=15
\end{equation*}
Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.

Referências:

$[1]$ Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - $7^a$ - Ed. Moderna


Veja mais:

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo
O Ângulo Interno de um Polígono Regular
Teorema do Ângulo Inscrito

5 de abr de 2014

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$.

Ângulos Internos

Definição $1$: Ângulo interno de um polígono é o ângulo formado por dois de seus lados, que seja interno ao polígono.

[Figura 1]

Teorema $1$: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de $N$ lados é dada pela fórmula:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Demonstração: Tomando um polígono convexo, para $N>3$, podemos decompô-lo em triângulos, traçando diagonais a partir de um vértice qualquer:

[Figura 2]

Vejam que há uma relação entre o número de lados do polígono e a quantidade de triângulos em que podemos decompô-lo:

[Tabela 1]

Como soma das medidas dos ângulo internos de um polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos de todos os $N-2$ triângulos que o compõe, e como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a $180^\circ$, temos:
\begin{equation}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ
\end{equation}
Uma consequência direta desse resultado é a determinação do ângulo interno de um polígono regular, dado por:
\begin{equation}
\alpha = \frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\alpha$ é a medida de cada ângulo interno de um polígono regular de $N$ lados.

Ângulos Externos


Definição $2$: Ângulo externo de um polígono é aquele suplementar ao ângulo interno em um dado vértice, formado pelo prolongamento de um dos lados e o lado adjacente.

[Figura 3]

Teorema $2$: A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de $N$ lados é igual a $360^\circ$:
\begin{equation}
S_\beta = \beta_1, \beta_2, \beta_3, \cdots, \beta_N=360^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $\beta_N$ é o ângulo externo do polígono;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos.

Demonstração: Partimos do fato que a soma dos ângulos interno e externo é igual a um ângulo raso. Assim:
\begin{equation}
\alpha + \beta = 180^\circ
\end{equation}
Então, para cada par de ângulos associados a um lado $N$ do polígono, temos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ\\
\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ\\
\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ\\
\vdots \\
\alpha_N + \beta_N = 180^\circ\\
\end{matrix}
\end{equation}
Somando membro a membro as $N$ igualdades, obtemos:
\begin{equation}
S_\alpha + S_\beta = N \cdot 180^\circ
\end{equation}
onde:

$\bullet$ $S_\alpha$ é a soma dos ângulos internos;
$\bullet$ $S_\beta$ é a soma dos ângulos externos;
$\bullet$ $N$ é o número de lados do polígono.

Manipulando a equação $(7)$, obtemos:
\begin{equation}
S_\beta = N \cdot 180^\circ - S_\alpha
\end{equation}
Substituindo $S_\alpha$ dada na equação $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
\begin{matrix}
S_\beta = N\cdot 180^\circ - (N-2) \cdot 180^\circ\\
S_\beta = N\cdot 180^\circ - N\cdot 180^\circ + 360^\circ\\
S_\beta = 360^\circ
\end{matrix}
\end{equation}
Uma consequência imediata desse resultado é a determinação da medida de um ângulo externo de um polígono regular, dada por:
\begin{equation}
\beta = \frac{S_\beta}{N} \qquad \text{ou} \qquad \beta = \frac{360^\circ}{N}
\end{equation}
onde $\beta$ é a medida de cada ângulo externo de um polígono regular de $N$ lados.

Exemplo $1$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono.

Temos que $N=7$, já que o polígono é um heptágono. Assim:
\begin{matrix}
S_\alpha=(N-2)\cdot 180^\circ \\
S_\alpha= (7-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha= 5\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 900^\circ
\end{matrix}
Desse modo, a soma dos ângulos internos de um heptágono vale $900^\circ$.

Exemplo $2$: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono regular e determinar a medida de cada ângulo externo.

Temos que $N=9$. Fazemos:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2)\cdot 180^\circ\\
S_\alpha = (9-2) \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 7 \cdot 180^\circ\\
S_\alpha = 1260^\circ
\end{matrix}
Para sabermos quanto vale cada ângulo interno, dividimos a soma dos ângulos internos por $9$, obtendo $140^\circ$. Agora, para calcularmos o ângulo externo, basta fazermos:
\begin{matrix}
\beta = 180^\circ - \alpha\\
\beta = 180^\circ - 140^\circ\\
\beta = 40^\circ
\end{matrix}

Exemplo $3$: Qual polígono possui a soma das medidas dos ângulos internos igual a $1800^\circ$?

Basta aplicarmos a fórmula:
\begin{matrix}
S_\alpha = (N-2) \cdot 180^\circ\\
1800^\cdot = 180^\circ \cdot N - 360^\circ\\
180^\circ \cdot N = 2160^\circ\\
N = 12
\end{matrix}
Logo, o polígono procurado é o dodecágono.

Exemplo $4$: Qual polígono regular possui a medida dos ângulos externos igual a $60^\circ$?

Aplicamos a fórmula dada em $(10)$:
\begin{matrix}
\beta = \frac{360^\circ}{N}\\
N = \frac{360^\circ}{60}=6
\end{matrix}
Logo, o polígono em questão é um hexágono.

Exemplo $5$: Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é o triplo da medida do ângulo externo?

Podemos escrever que $\alpha = 3\beta$. E agora substituirmos as equações $(3)$ e $(10)$:
\begin{matrix}
\frac{(N-2)\cdot 180^\circ}{N} = 3\cdot \frac{360^\circ}{N}\\
180^\circ \cdot N - 360^\circ = 1080^\circ\\
180^\circ \cdot N = 1440^\circ\\
N=8
\end{matrix}

Referências:

$[1]$ Fundamentos de Matemática $7^a$ - Ismael Reis - Ed. Moderna 


Veja mais:

O Ângulo Interno de um Polígono Regular
Teorema do Ângulo Inscrito
A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo  no blog Fatos Matemáticos

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