11 de fev de 2014

Funções Trigonométricas Inversas: A Função Arco Seno


As funções trigonométricas inversas têm várias aplicações. No Cálculo, especialmente, as funções arco seno e arco tangente foram desenvolvidas para permitir a resolução de certas integrais, tais como:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen}(x)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\int \frac{dx}{1+x^2}=\text{arctg}(x)
\end{equation}
Do estudo de trigonometria no Ensino Médio, sabemos, por exemplo, que o $\text{sen}(\pi/6)=1/2$. E se nos pedirem para encontrar um ângulo em radianos cujo seno vale $1/2$, facilmente respondemos que esse ângulo é $\pi/6$. Mas, se analisarmos o círculo trigonométrico, podemos concluir que existem muitos outros ângulo cujos seno vale $1/2$.

Simbolicamente, denotamos um ângul cujo seno é um dado número $x$ por:
\begin{equation}
\text{sen}^{-1}(x) \qquad \text{ou} \qquad \text{arcsen}(x)
\end{equation}
Apesar dessa notações serem equivalentes, as segunda é mais usual. A primeira lê-se "o seno inverso de $x$" e a segunda "o arco cujo seno de $x$". No entanto, ambas significam "um ângulo cujo seno é".

Temos que deixar claro que no símbolo $\text{sen}^{-1}(x)$, o $-1$ não é um expoente, de modo que $\text{sen}^{-1}(x)$ não é o mesmo que $1/\text{sen}(x)$.

Para ficar mais claro, podemos pensar assim:
\begin{equation*}
x=3y \qquad \text{e} \qquad y=\frac{1}{3}x
\end{equation*}
As duas equações têm o mesmo significado. A primeira resolvida para $x$ e a outra resolvida para $y$. Analogamente, temos:
\begin{equation}
x=\text{sen}(y) \qquad \text{e} \qquad y=\text{arcsen}(x)
\end{equation}
O gráfico da inversa $f^{-1}$ de uma função $f$ é obtido pela simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$.


Entretanto, para que $f$ tenha realmente uma função inversa, a simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$ não pode passar sob si mesma.

O gráfico da função seno forma um padrão que se repete indefinidamente por ser periódica:

Quando este gráfico é refletido sobre a reta $y=x$, o gráfico resultante passa repetidamente sob si mesmo:

Fica claro que $y$ existe somente quando $x$ está no intervalo $-1\leq x \leq 1$. Mas para qualquer valor de $x$ nesse intervalo, existem infinitos valores de $y$ correspondentes. Mas para que $y=\text{arcsen}(x)$ seja considerada uma função, essa situação não pode ser permitida.

No entanto, a função seno é monotonamente crescente no intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$, logo, nesse intervalo, ela tem uma inversa. Então, por meio de um acordo universalmente aceito, os únicos valores de $y=\text{arcsen}(x)$ que consideramos são aqueles que estão no intervalo $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$ e é essa restrição que dá significado ao símbolo $y=\text{arcsen}(x)$ e seu gráfico fica:

Temos que deixar claro que para o símbolo $\text{arcsen}$, a terminologia não é totalmente correta, pois a função seno não tem inversa, se definida em todo $\mathbb{R}$. Logo, o $\text{arcsen}$ realmente não é a inversa da função seno, mas é a inversa da porção da função cujo gráfico está entre o intervalo $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$.

Para a derivada  $dy/dx$ da função $\text{arcsen}(x)$, tomamos inicialmente a derivada da função seno:
\begin{equation}
x=\text{sen}(y)
\end{equation}
Derivamos implicitamente em relação a $x$, obtendo:
\begin{equation*}
1=\cos(y)\frac{dy}{dx}
\end{equation*}
Manipulando esse resultado:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}}
\end{equation*}
Mas, por $(5)$, $x=\text{sen}(y)$, logo:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation}
Como a função $\text{arcsen}(x)$ é crescente, tomamos a raiz quadrada positiva.

A partir do resultado acima, obtemos uma extensão da regra da cadeia:
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\text{arcsen}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}
\end{equation}
sendo $u$ qualquer função derivável de $x$.

Exemplo $1$: Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(4x)$.

Utilizaremos a fórmula dada em $(7)$, fazendo $u=4x$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\frac{d}{dx}(4x)=\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}
\end{equation*}

Exemplo $2$: Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(x^3)$.

Fazemos $u=x^3$:
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\frac{d}{dx}(x^3)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}
\end{equation*}

Podemos obter a integral em $(1)$, simplesmente invertendo a fórmula de diferenciação para a função arco seno. Assim:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen} (x)+C , \forall \mid x \mid <1
\end{equation}
vem diretamente da fórmula de derivada de $\text{arcsen}(x)$. Podemos generalizar $(8)$ como:
\begin{equation}
\int \frac{du}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left( \frac{x}{a} \right)+C, \forall a>0 \text{ e} \mid x \mid <a
\end{equation}
Para a prova de $(9)$, fazemos a substituição $x=au$ de modo que $dx=adu$, assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{adu}{\sqrt{a^2-a^2u^2}}=\int \frac{adu}{\sqrt{a^2}\sqrt{1-u^2}}=\int \frac{adu}{a\sqrt{1-u^2}}=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\text{arcsen}(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=x/a$, logo:
\begin{equation}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+C
\end{equation}

Exemplo $3$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Fazemos $u=3x$ e $du=3dx$. Assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1}{3} \text{arcsen}(u)+C=\frac{1}{3}\text{arcsen}(3x)+C
\end{equation*}

Exemplo $4$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$.

Podemos reescrever a integral como:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}}
\end{equation*}
E aplicando a fórmula $(9)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}}=\text{arcsen}\left(\frac{x}{3}\right)+C
\end{equation*}

Exemplo $5$: Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Fazemos $u=4x$ e $du=4dx$. Assim:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\sqrt{1-(4x)^2}}=\frac{1}{4}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1}{4}\text{arcsen}(4x)+C
\end{equation*}

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem-Foulis
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons


Veja mais:

Integração por Substituição Trigonométrica
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
Aplicações da Sagita no blog Fatos Matemáticos

5 de fev de 2014

Qualidades do Som

As ondas sonoras nos fluídos são ondas longitudinais mecânicas, ou seja, são ondas em que a direção da propagação coincide com a direção de vibração da partícula. Elas necessitam de um meio para se propagar, pois são produzidas por deformações em um meio elástico. Portanto, as ondas sonoras não se propagam no vácuo.

O ouvido humano é capaz de distinguir no som certas características que chamamos de qualidades, que são divididas em três propriedades: altura, intensidade e timbre.

$1-$Altura:

O termo altura foi criado pelos músicos numa época onde ainda não se sabia a natureza do som. Hoje sabemos que a altura está relacionada à frequência da onda sonora e podemos defini-la como a qualidade que permite ao ouvido diferenciar sons graves e sons agudos.

Um som é tanto mais grave quanto menor for sua frequência e tanto mais agudo quanto maior for sua frequência.

A voz do homem geralmente é mais grave do que a voz da mulher, pois a frequência das ondas produzidas por suas cordas vocais ficam entre $100Hz$ a $200Hz$, enquanto das mulheres ficam entre $200Hz$ a $400Hz$.

Em textos de música é comum o uso do termo intervalo, que na realidade é a comparação entre a frequência de diferentes notas musicais.

Podemos definir matematicamente intervalo entre dois sons de frequência $f_1$ e $f_2$, sendo $f_2>f_1$, pela relação:
\begin{equation}
i=\frac{f_2}{f_1},f_2>f_1
\end{equation}
Para um intervalo $i=1$, ou seja, quando $f_2=f_1$, dizemos que os sons estão em uníssono, ou seja, estão em frequências iguais.

Quando $i=2$, ou seja, $f_2=2f_1$, o intervalo é chamado de oitava, porque entre os dois sons na escala natural composta por $7$ notas (dó (C), ré (D), mi (E), fá (F), sol (G), lá (A), si (B)), sucedem seis notas musicais, sendo que o primeiro som de frequência $f_1$ é a primeira nota da escala e o segundo som de frequência $f_2$ é a oitava nota.

O ouvido humano normal tem capacidade para perceber as ondas sonoras compreendidas entre $20Hz$ e $20kHz$. Frequências abaixo de $20Hz$ são denominadas infrassom e as superiores a $20kHz$ são as chamadas de ultrassom. Apesar dessas frequências não serem percebidas pelo ouvido humano, alguns animais conseguem captar os ultrassons ou infrassons.

$2-$Intensidade:

Uma forma simples de entender o conceito de intensidade é tomar uma fonte sonora como referencial. Vamos usar como exemplo o som produzido pelas ondas do mar. Percebemos que o som fica mais forte à medida em que caminhamos pela areia da praia em direção ao mar.


A intensidade sonora é medida através de um aparelho chamado decibelímetro e não depende da audição dos humanos. Vejam que uma onda de maior amplitude, caracteriza um som forte.

Dizemos que a intensidade de um som é a qualidade que permite ao ouvido diferenciar os sons fracos dos sons fortes.

As ondas transportam energia e quanto maior a energia por unidade de tempo que a onda transporta, maior é a intensidade do som.

A intensidade sonora $I$ é definida fisicamente como a potência sonora recebida por unidade de área de uma superfície perpendicular à direção de propagação, ou seja:
\begin{equation}
I=\frac{P}{A}
\end{equation}
Mas a potência pode ser definida pela relação de energia por unidade d etempo:
\begin{equation}
P=\frac{\Delta E}{\Delta t}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ e, $(2)$, podemos expressar a intensidade sonora como:
\begin{equation}
I=\frac{\frac{\Delta E}{\Delta t}}{A}=\frac{\Delta E}{A\cdot \Delta t}
\end{equation}
No $S.I.$ a unidade de medida de energia é o joule $(J)$, da área é o metro quadrado $(m^2)$ e do tempo é o segundo $(s)$, assim:
\begin{equation}
I=\frac{J}{m^2 \cdot s}
\end{equation}
Mas como
\begin{equation}
1W=\frac{1J}{s}
\end{equation}
a intensidade sonora $I$ também pode ser expressada por:
\begin{equation}
I=\frac{W}{m^2}
\end{equation}
Tendo como base a percepção humana, identificamos duas intensidades importantes: a mínima intensidade física que uma onda sonora deve ter para que seja audível é de aproximadamente $I_0=10^{-12}W/m^2$, chamada de limiar da audibilidade; já a máxima intensidade sonora suportável pelo ser humano sem experimentar sensação de dor é de $I=1W/m^2$ e é chamada de limiar da dor.

No entanto, a sensação auditiva não varia linearmente com a energia transportada com a onda sonora. Assim, em igualdade das demais condições, se dobrarmos a energia transportada pela onda, a sensação não será a de um som duas vezes mais forte. Experiências mostraram que o ouvido humano considera um som duas vezes mais forte que outro (de mesma frequência), quando sua intensidade física for dez vezes maior que a do outro. Por isso, para se medir a intensidade auditiva também denominada  nível sonoro do som, utilizamos a escala logarítmica.

O valor $I_0$ é a menor intensidade que nosso ouvido consegue perceber. Na verdade, $I_0$ pode variar para cada pessoa, mas em média, temos $I_0=10^{-12}W/m^2$ sendo adotado como padrão; já $I$ é a intensidade do som que se quer medir. Define-se intensidade auditiva ou nível sonoro $\beta$ de um som o expoente a que se deve elevar o número $10$ para obter a relação $I/I_0$:
\begin{equation}
10^{\beta}=\frac{I}{I_0}
\end{equation}
Pela definição de logaritmos, podemos escrever:
\begin{equation}
\beta=\log{\frac{I}{I_0}}
\end{equation}
onde $\beta$ é a medida em bel, simbolizada por $B$, em homenagem a Alexander Graham Bell $(1847-1922)$, inventor do telefone e pioneiro em estudos sobre intensidade sonora.

Geralmente, na prática, medimos $\beta$ em uma unidade menor, o decibel $(dB)$:
\begin{equation*}
1dB=\frac{1}{10}B
\end{equation*}
Veja o artigo sobre os logaritmos e a audição humana.

$3-$Timbre

A palavra timbre foi criada antes de se conhecer a natureza do som. O timbre é a qualidade que permite ao ouvido diferenciar sons de mesma altura e intensidade emitidos por fontes diferentes. Uma mesma nota musical tocada por um violão e por um piano produz sensações diferentes. Isto é devido à forma da onda que é emitida pelo instrumento.


Referências:

[1] Física Volume Único - Sampaio & Calçada
[2] Física Volume Único - Nicolau, Toledo & Ronaldo
[3] Física V2 - Paraná
[4] Física V3 - Xavier & Benigno
[5] Os Fundamentos da Física V2 - Ramalho, Ivan, Nicolau & Toledo

Veja mais: 

Logaritmos: Sons e a Audição Humana
Um Pouco Sobre Logaritmos e suas Propriedades Operatórias
A Lei de Weber e as Escalas de Fechner

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