6 de jun de 2015

Resolução da integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$

Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial.

Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da Wolfram. Ao resolvermos esta integral, faremos uma substituição nada trivial. No entanto, após uma manipulação de identidades trigonométricas, chegamos a um resultado satisfatório.


Seja a integral:
\begin{equation}
I = \int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \int \frac{x^2}{\sqrt{(4-x^2)^3}} dx
\end{equation}
Fazemos a substituição no integrando: $x=2\text{sen}(u)$ e $dx=2\cos (u)du$, de modo que o denominador fica:
\begin{equation*}
\sqrt{(4-x^2)^3} = \sqrt{(4-(2\text{sen}(u))^2)^3} = \sqrt{(4-4\text{sen}^2(u))^3} =(4-4\text{sen}^2(u))\sqrt{(4-4\text{sen}^2(u)} =4(1-\text{sen}^2(u))\sqrt{4(1-\text{sen}^2(u))} = 8\cos ^2(u) \cdot \cos(u) = 8\cos ^3(u)
\end{equation*}
Assim, a integral inicial fica:
\begin{equation*}
I = \int \frac{(2 \text{sen}(u))^2 \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{4 \text{sen}^2(u) \cdot 2\cos (u)}{8 \cos ^3(u)}du\\
\ \\
I = \int \frac{\text{sen}^2(u)}{\cos ^2(u)}du\\
\ \\
I = \int \text{tg}^2(u)du
\end{equation*}
Podemos escrever $\text{tg}^2(u) = \sec ^2(u)-1$:
\begin{equation*}
I = \int \left(\sec ^2(u) - 1 \right) du\\
\ \\
I = \int \sec ^2(u) du - \int 1 du\\
\ \\
I = \text{tg}(u) - u + C
\end{equation*}
Mas $\displaystyle u= \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$:
\begin{equation*}
I = \text{tg}\left(\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) \right) - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
No entanto, $\displaystyle \text{tg} \left( \text{arcsen}(t)\right) = \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}$:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle 2 \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\displaystyle \sqrt{4\left( \frac{4 - x^2}{4}\right)}}- \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C \\
\ \\
I = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Calcular a integral definida $\displaystyle I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$.

Como resultado do processo de integração acima, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right) + C
\end{equation*}
Aplicando os limites de integração, obtemos:

\begin{equation*}
I = \int_0^1 \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx = \left[\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^1\\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) \\
\ \\
I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} \approx 0,053751 \ u.a.
\end{equation*}
Graficamente, temos:


Veja mais:

Método de integração por substituição
Método de integração por substituição trigonométrica
Funções trigonométricas inversas: a função arco seno



4 comentários:

  1. Oi gente tudo bem gosto muito da teoria do cálculo, até entendo mas ou menos, gostaria de iniciar a prática da matéria de cálculo, aprendendo a integrar e derivar para que eu posso aprofundar, só que não conheço uma referência literal boa para iniciar os estudos de cálculo. Alguém tem alguma dica? Desde de já agradeço!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Meryck, o melhor livro que já vi de cálculo é o do George F. Simmons V1 e V2. Simplesmente fantásticos. Encontra-se para download na internet. Se quiser comprar usado, sugiro a Estante Virtual, tem preço bem em conta.

      Aqui no blog tem alguma coisa de integração, veja na barra lateral ou pesquise no arquivo ou na caixa de pesquisa.

      Espero que ajude.

      Um abraço.

      Excluir
  2. Por favor... um integral tão simples dispensa a referência "Só consegui resolvê-la com uma ajuda da Wolfram."
    Esqueça o Wolfram.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É verdade, resolvendo por partes também se resolve, como pode-se ver no link: https://lh3.googleusercontent.com/BKW7E_PMcskdyqVggxt9lUg9ZLpDieAQ1iv4LlPtMG0=w1001-h563-no

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...