26/07/2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C
\end{equation*}
onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \text{sen}^2(ax)dx
\end{equation*}
Para o integrando $\text{sen}^2(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du = adx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation}
I = \frac{1}{a}\int \text{sen}^2(u)du
\end{equation}
Para continuarmos a resolução, relembremos seguintes identidades trigonométricas:
\begin{equation}
\cos(2u) = \cos^2(u) - \text{sen}^2(u)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos^2(u) = 1 - \text{sen}^2(u)
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(2u) = 1- \text{sen}^2(u) - \text{sen}^2(u)\\
\cos(2u) = 1- 2\ \text{sen}^2(u)\\
2\ \text{sen}^2(u) = 1- \cos(2u)\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\text{sen}^2(u) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2u)
\end{equation}
Agora, substituindo $(4)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2u)\right) du
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2a}\int 1du - \frac{1}{2a} \int \cos(2u) du\\
\ \\
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{2a} \int \cos(2u) du
\end{equation*}
Para o integrando $\cos(2u)$, fazemos a substituição $v=2u$. Assim, $dv=2du$ e $\displaystyle du = \frac{1}{2}dv$:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
A integral de $\cos(v)$ é $\text{sen}(v)$:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a}\cdot \text{sen}(v) + C
\end{equation*}
Mas $v = 2u$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} - \frac{1}{4a} \text{sen}(2u) + C
\end{equation*}
e $u= ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{ax}{2a}- \frac{1}{4a}\text{sen}(2ax) + C\\
\ \\
I = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a}+C
\end{equation*}

Exemplo $1$:

Seja $f(x)=\text{sen}(x)$ e $g(x)=\text{sen}^2(x)$. Calcular a área entre as duas curvas no intervalo de $0$ a $\pi$.

Resolução: A área hachurada no gráfico acima é dada pela diferença entre a área de $f(x)$ e a área de $g(x)$, no intervalo de $0$ a $\pi$:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi} f(x)dx - \int_0^{\pi} g(x)dx\\
\ \\
A = \int_0^{\pi} \text{sen}(x)dx - \int_0^{\pi} \text{sen}^2(x)dx
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(x)$ é $-\cos(x)$ e a integral de $\text{sen}^2(x)$ é $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(2x)}{4}$. Assim:
\begin{equation*}
A = -\left[ \cos(x) \right]_0^{\pi} - \left[ \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2x)}{4} \right]_0^{\pi}\\
\ \\
A = - \left[ \cos(\pi) - \cos(0) \right] - \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{\text{sen}(2\pi)}{4} - \frac{0}{2} + \frac{\text{sen}(0)}{4} \right]\\
\ \\
A = 1+1-\frac{\pi}{2}-\frac{0}{4}-\frac{0}{2}+\frac{0}{4}\\
\ \\
A = 2-\frac{\pi}{2} \approx 0,429204
\end{equation*}
Resposta: A área da porção hachurada no gráfico acima vale aproximadamente $0,429204\ u.a.$.

Exemplo $2$:

Seja $f(x)=\text{sen}(x)$ e $g(x)=\text{sen}^2(3x)$. Calcular a área hachurada da figura abaixo:


Resolução: A área hachurada sob a curva $f(x) = \text{sen}(x)$ está limitada pelo intervalo $[0,\pi]$. Precisamos retirar uma porção que é a área não-hachurada. Esta área que devemos subtrair da curva $f(x)$, é a curva $g(x)=\text{sen}^2(3x)$ no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$. Então temos que:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi} f(x)dx - \int_{\pi/3}^{2\pi/3} g(x)dx\\
\ \\
A =  \int_0^{\pi} \text{sen}(x)dx - \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \text{sen}^2(3x)dx
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(x)$ é $-\cos(x)$ e a integral de $\text{sen}^2(3x)$ é $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\text{sen}(6x)}{12}$. Assim:
\begin{equation*}
A = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} - \left[ \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(6x)}{12}  \right]_{\pi/3}^{2\pi/3}\\
\ \\
A =  -\left[ \cos(\pi)-\cos(0)\right] - \left[ \frac{\pi}{3}-\frac{\text{sen}(4\pi)}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\text{sen}(2\pi)}{12} \right]\\
\ \\
A = - \left[-1 -1\right] - \left[ \frac{\pi}{3}-\frac{0}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{0}{12}\right]\\
\ \\
A = 2 - \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6} \approx 1,4764
\end{equation*}
Resposta: A área hachurada da figura acima vale aproximadamente $1,4764\ u.a.$.

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/p/integrais.html

Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes



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