01/05/2016

Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$

Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx
\end{equation*}
Decompomos o integrando como uma soma de frações unitárias:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int\frac{dx}{x-1} - \int \frac{dx}{x+1} +\int dx
\end{equation*}
Para o integrando$\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u = x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dx}{x+1} + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $v=x+1$ e $dv=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} + \int dx
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln |u|$. A integral de $1/v$ é $\ln |v|$ e a integral de $1$ é $x$. Assim:
\begin{equation*}
I = \ln |u| - \ln |v| + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$ e $v=x+1$. Logo:
\begin{equation*}
I = x + \ln |x-1| - \ln |x+1| + C
\end{equation*}

Exemplo $1$

Calcular a área entre a curva $\displaystyle f(x) \frac{x^2+1}{x^2-1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo $\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.



Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1} dx = x +\ln|x-1| - \ln |x+1|
\end{equation*}
Obtemos:
\begin{equation*}
A = \left[x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{-1/2}^{1/2}\\
\ \\
A = \left(\frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1}{2}-1\right| - \ln\left|\frac{1}{2}+1\right|\right) - \left(-\frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}-1\right| - \ln \left|-\frac{1}{2}+1\right|\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}\right| - \ln \left|\frac{3}{2}\right| + \frac{1}{2} - \ln \left|-\frac{3}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|\\
\ \\
A \approx -1,1972246

\end{equation*}
O valor negativo só quer dizer que a curva no intervalo especificado, encontra-se sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[-1/2,1/2]$, vale aproximadamente $1,1972346$.


Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes




Um comentário:

  1. Não dizendo só sobre esse post aqui... mas seu blog é sensacional! parabéns!

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