29/07/2017

A morte de Riemann

Riemann era filho de um pastor luterano e tinha problemas de saúde desde a infância. Mesmo com a família em condições financeiras precárias, seu pai conseguiu proporcionar-lhe uma boa educação que começou na Universidade de Göttingen e continuou na Universidade Humboldt de Berlim. Obteve o doutorado na Universidade de Göttingen, com uma tese no campo da teoria das funções complexas. Na tese encontramos as equações diferenciais de Cauchy-Riemann, que garantem a análise de uma função de variável complexa e o conceito de superfícies de Riemann, que trouxe considerações topológicas à análise. Com uma definição própria - Integral de Riemann -, tornou mais claro o conceito de integrabilidade abrindo caminho para a generalização deste conceito no século $XX$ e daí para horizontes mais amplos como a relatividade geral.


Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em $17$ de setembro de $1826$ em Breselenz, Alemanha e morreu dia $20$ de julho de $1866$ em Selasca, Itália.

Nenhuma grande mente do passado exerceu uma influência tão profunda sobre os matemáticos do século $XX$ quanto Brenhard Riemann. Ele estudou os trabalhos de Euler e de Legendre quando ainda estava no curso secundário e diz-se que ele dominou o tratado de Legendre sobre a Teoria dos Números em menos de uma semana. Mas ele era tímido e modesto, com pouca consciência de suas habilidades extraordinárias, tanto que aos dezenove anos foi para a Universidade de Göttingen com o objetivo de estudar Teologia e tornar-se um clérigo. Felizmente, essa proposta logo subiu-lhe à garganta e com a permissão de seu pai mudou para a Matemática.

A presença do legendário Gauss fez de Göttingen o centro do mundo matemático. Mas Gauss era distante e inacessível e, depois de apenas um ano, Riemann deixou esse ambiente insatisfatório e foi para a Universidade de Berlim. Lá atraiu o interesse amigável de Dirichlet e de Jacobi, aprendendo muito de ambos.

Dois anos após, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em $1851$. Durante os oito anos seguintes, suportou uma pobreza debilitante e criou suas maiores obras. Em $1854$ foi nomeado "Privatdozent" (conferencista não-remunerado), que naquele tempo era o primeiro degrau necessário para a escalada acadêmica.

Gauss morreu em $1855$ e Dirchlet foi chamado a Göttingen como seu sucessor. Dirichlet ajudor Riemann como pôde. Primeiro com um pequeno salário (cerca de $1/10$ do que ganhava um professor titular) e depois com uma promoção a professor assistente. Em $1859$ ele também morreu e Riemann foi nomeado professor titular para substituí-lo. Os anos de pobreza de Riemann acabaram-se, mas sua saúde estava abalada. Aos trinta e nove anos morreu de tuberculose na Itália, na última das várias viagens que fez para fugir do clima frio e úmido do norte da Alemanha.

Riemann teve uma vida curta e publicou relativamente pouco, mas seus trabalhos alteraram permanentemente o curso da Matemática na Análise, Geometria e Teoria dos Números.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
[2] Wikipédia - Bernhard Riemann

Veja mais:

As equações de Cauchy-Riemann
Dirichlet e os números primos
A soma de Gauss

19/07/2017

A Pedra de Roseta

No dia $19$ de julho de $1799$, era encontrada no Egito pelas tropas napoleônicas a Pedra de Roseta, que tornaria possível a compreensão de toda a matemática egípcia

A Pedra de Roseta é um fragmento de uma estela de granodiorito do Egito Antigo, cujo texto foi crucial para a compreensão moderna dos hieróglifos egípcios. Sua inscrição registra um decreto promulgado em $196\ a.C.$, na cidade de Mênfis, em nome do rei Ptolomeu $V$, registrado em três parágrafos com o mesmo texto: o superior está na forma hieroglífica do egípcio antigo, o trecho do meio em demótico, variante escrita do egípcio tardio, e o inferior em grego antigo.


Exibida originalmente dentro de um templo, a estela provavelmente foi removida durante os períodos cristão ou medieval, e finalmente terminou sendo usada como material na construção de um forte na cidade de Roseta (Rashid), no delta do Nilo. Foi redescoberta ali em $1799$ por um soldado integrante da expedição francesa ao Egito, liderada por Napoleão. Primeiro texto bilíngue a ser recuperado na história moderna, a Pedra de Roseta logo despertou grande interesse pela possibilidade de conter uma tradução da antiga língua egípcia, até então nunca decifrada. Cópias litografadas e de gesso passaram a circular entre museus e acadêmicos europeus. Neste meio tempo, tropas britânicas derrotaram os franceses no Egito, em $1801$, e a pedra acabou passando para a posse do Reino Unido, de acordo com a Capitulação de Alexandria. Transportada para Londres, está em exibição ao público no Museu Britânico desde $1802$, onde é o objeto mais visitado.

O estudo do decreto já estava bem avançado quando a primeira tradução completa do texto grego surgiu, em $1803$. Somente $20$ anos depois, no entanto, foi feito o anúncio da decifração dos textos egípcios por Jean-François Champollion, em $1822$; muito tempo ainda se passou até que os estudiosos pudessem ler outras antigas inscrições egípcias e compreender sua literatura com alguma confiança. Os principais fatores para esta decodificação foram: a descoberta de que a Pedra oferecia três variantes do mesmo texto $(1799)$; que o texto em demótico utilizava caracteres fonéticos para soletrar os nomes estrangeiros $(1802)$; que o texto em hieróglifos não só também o fazia, como tinha semelhanças profundas com o demótico (Thomas Young, $1814$); e que, além de serem utilizados para soletrar estes nomes, os caracteres fonéticos também eram utilizados para soletrar palavras nativas do egípcio (Champollion, $1822–1824$). Desde sua redescoberta, a Pedra tem sido alvo de rivalidades nacionalistas, incluindo sua transferência da França para o Reino Unido durante as Guerras Napoleônicas, a antiga disputa sobre o valor relativo das contribuições de Young e Champollion para a decifração, e, desde $2003$, a reivindicação de retorno feita pelo Egito.

Duas outras cópias fragmentárias do mesmo decreto foram descobertas mais tarde, e diversas inscrições bilíngues ou trilíngues semelhantes foram descobertas posteriormente, incluindo dois decretos Ptolomaicos um pouco anteriores (o Decreto de Canopo, de $238\ a.C.$, e o decreto de Mênfis de Ptolomeu $IV$, $c.\ 218\ a.C.$. A Pedra de Roseta, portanto, não tem mais o valor de ser única, porém foi essencial para a compreensão moderna da literatura e da civilização do Egito Antigo. O termo Pedra de Roseta é utilizado hoje em dia em outros contextos, para se referir a alguma informação essencial de um campo novo de conhecimento.

Referências:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Pedra_de_Roseta
http://www.history.com/this-day-in-hist…/rosetta-stone-found

Veja mais:

A multiplicação egípcia
Os primeiros matemáticos
Lagrange: A grande pirâmide da Matemática 



16/07/2017

A fórmula de Euler para poliedros convexos

A fórmula de Euler para poliedros, também conhecida apenas como relação de Euler, foi demonstrada e publicada entre $1750$ e $1751$ pelo magnífico matemático suíço Leonhard Euler.


O que diz?

Os números de faces, arestas e vértices de um sólido não são independentes, mas estão relacionados de uma maneira simples.

Por que é importante?

Distingue sólidos com diferentes topologias usando o exemplo mais antigo de invariante topológico. Isso pavimentou o caminho para técnicas mais gerais e mais poderosas, criando um novo ramo da matemática.

Qual foi a consequência?

Uma das mais importantes e poderosas áreas da matemática pura: a topologia, que estuda propriedades geométricas que permanecem inalteradas por deformações contínuas.

Exemplos incluem superfícies, nós e laços. A maioria das aplicações é indireta, mas sua influência nos bastidores é vital. Ajuda-nos a compreender como enzimas agem sobre o DNA numa célula, e por que o movimento dos corpos celestes pode ser caótico.

Um pouco de história

A topologia teve suas raízes em um curioso padrão numérico percebido por Descartes em $1639$, quando trabalhava com os sólidos de Euclides. Ele notou que um cubo tem $6$ faces, $12$ arestas e $8$ vértices, cuja soma $6-12+8=2$. A mesma relação ocorria no dodecaedro, sendo $12$ faces, $30$ arestas e $20$ vértices, cuja soma $20-30+12=2$.

Descartes percebeu que esta relação valia para os demais poliedros regulares. Sendo um sólido com $F$ faces, $A$ arestas e $V$ vértices, então vale a relação:
\begin{equation}
F-A+V=2
\end{equation}
No entanto, Descartes não publicou essa fórmula e encarou o problema apenas como uma curiosidade, ficando a glória de sua demonstração e publicação entre $1750$ e $1751$ a cargo do infatigável Euler, o matemático mais prolífero da história.

Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, pode-se dizer que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Os Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão são poliedros regulares convexos, cujas faces são formadas por polígonos regulares do mesmo tipo. Existem apenas $5$ desses sólidos e vale a relação de Euler:



Referências:

[1] As 17 equações que mudaram o mundo - Ian Stewart




15/07/2017

Morre a matemática iraniana Maryam Mirzakhani

A única mulher a ganhar a Medalha Fields foi a matemática iraniana Maryam Mirzakhani, que morreu em $15$ de julho de $2017$, aos $40$ anos, de câncer de mama, em um hospital dos Estados Unidos. Ela lutava contra a doença havia quatro anos. O estado de saúde de Maryam piorou quando a medula óssea foi atingida.



Maryam nasceu a $3$ de maio de $1977$ em Teerã, Irã e faleceu dia $15$ de julho de $2017$ nos Estados Unidos.

Professora da Universidade de Stanford, nos Estados Unidos, Maryam recebeu o prêmio máximo da área em $2014$, no mesmo ano em que o brasileiro Artur Avila. Na ocasião, foi reconhecida por “suas contribuições notáveis para a dinâmica e geometria das superfícies de Riemann e seus espaços modulares." Ao receber o e-mail informando sobre a Fields, achou que fora hackeada e disse “não ter feito nada realmente muito notável” para receber o prêmio.

Dezenove anos antes, em $1995$, Maryam e Artur já haviam conquistado o mesmo feito: ouro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO). Foi o segundo ouro recebido na IMO. Na competição, ela também atingiu a nota perfeita.

A mulher que sonhava ser escritora, descobriu a Matemática no Ensino Médio. E, em sua curta vida, trouxe contribuições importantes e um pioneirismo ímpar em uma área ainda predominantemente masculina.

“[Matemática] é divertida - é como resolver um quebra-cabeça ou conectar os pontos em um caso de detetive”, disse à publicação Stanford Report, logo após ganhar a Medalha Fields. "Eu senti que isso era algo que eu poderia fazer, e eu queria seguir esse caminho", declarou Maryam, que era uma figura importante no Irã, mas sofria censura e preconceito por não usar o véu islâmico.

Maryam fez graduação em Matemática na Sharif University of Technology em $1999$ e doutorado na mesma área em Harvard, em $2004$. Foi nos Estados Unidos que ela conheceu Curtis McMullen, Medalha Fields que se tornou seu mentor e orientador. Fez estágio no Instituto Clay de Matemática e conquistou uma vaga de professora assistente na Universidade de Princeton. Em $2008$, entrou na Universidade de Stanford como professora titular, onde se dedicou às pesquisas em topologia e geometria de superfícies abstratas.

Em carta publicada pela agência de notícias IRNA, em $13$ de julho, Mohammad-Ali Najafi, ex-ministro da Educação e atual assessor do presidente do Irã, Hassan Rouhani, pediu que os iranianos rezassem por ela e disse que, perdê-la em uma idade tão nova “traria uma imensa tristeza ao mundo da Matemática e à comunidade científica iraniana”.

Segundo o ex-ministro, Maryam poderia ainda “dar contribuições inestimáveis no reconhecimento e na compreensão das ciências matemáticas”. E a comparou a Emmy Emmy Noether, matemática alemã conhecida por suas contribuições históricas para álgebra abstrata e física teórica.

“Mirzakhani é uma joia para todas as mulheres iranianas e para todas as mulheres em todo o mundo. Ela é um modelo para ser humilde e humano, bem como suas habilidades intelectuais e acadêmicas”, escreveu o ex-ministro antes da morte de Maryam, acrescentando: "Mas o que me impressionou ainda mais do que o seu gênio são suas virtudes que a tornaram um ser humano completo. Ao longo dos anos, viajou para o Irã várias vezes para compartilhar seus resultados de pesquisa com matemáticos iranianos, ela ama seu país”.

Além da medalha Fields, Maryam recebeu o Prêmio Blumenthal 2009 para o Avanço da Pesquisa em Matemática Pura e o Prêmio Satter $2013$ da American Mathematical Society.

Prêmios e Honras

■ Gold medal. International Mathematical Olympiad (Hong Kong 1994)
■ Gold medal. International Mathematical Olympiad (Canada 1995)
IPM Fellowship, Tehran, Iran, 1995–1999
■ Merit fellowship Harvard University, 2003
■ Harvard Junior Fellowship Harvard University, 2003
■ Clay Mathematics Institute Research Fellow 2004
■ AMS Blumenthal Award 2009
■ Invited to talk at the International Congress of Mathematicians in 2010, on the topic of "Topology and Dynamical Systems & ODE"
■ The 2013 AMS Ruth Lyttle Satter Prize in Mathematics. "Presented every two years by the American Mathematical Society, the Satter Prize recognizes an outstanding contribution to mathematics research by a woman in the preceding six years. The prize was awarded on 10 January 2013, at the Joint Mathematics Meetings in San Diego."
■ Named one of Nature magazine's ten "people who mattered" of 2014
Clay Research Award 2014
Plenary speaker at the International Congress of Mathematicians (ICM 2014)
Fields Medal 2014
■ Elected foreign associate to the French Academy of Sciences in 2015
■ Elected to the American Philosophical Society in 2015
National Academy of Sciences 2016
■ Elected to the American Academy of Arts and Sciences in 2017

Publicações:

Invariant and stationary measures for the SL(2,R) action on Moduli space
Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL(2,R) action on Moduli space
Towards large genus asymtotics of intersection numbers on moduli spaces of curves
Counting closed geodesics in strata
Growth of Weil-Petersson volumes and random hyperbolic surfaces of large genus. J. Differential Geom., Volume 94, 2 (2013), 267-300
Counting closed geodesics in Moduli space. J. Mod. Dyn. 5 (2011), no. 1, 71--105
Lattice Point Asymptotics and Volume Growth on Teichm\"uller space. Duke Math. J. 161 (2012), no. 6, 1055--1111
Ergodic theory of the space of measured laminationsi, Int. Math. Res. Not. (4) 2008
Ergodic theory of the earthquake flow, IMRN (2008) Vol. 2008
Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces, Ann. of Math.(2), 168(1) (2008) 97--125
Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves, J. Amer. Math. Soc. 20:1(2007), 1--23
Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Invent. Math. 167 (2007), 179--222
Random hyperbolic surfaces and measured laminations. In the tradition of Ahlfors-Bers. IV, 179--198, Contemp. Math., 432, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007

Site oficial de Maryam

http://mmirzakhani.com/

Referências:

[1] IMPA
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Maryam_Mirzakhani
[3] Department of Mathematics Stanford University 

Veja mais:

Elon Lages Lima
O número de Erdös-Bacon-Sabbath
John Nash e o filme Uma Mente Brilhante

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