Muitos dos problemas encontrados nos Papiros de Rhind e de Moscou são de origem prática. Para a maioria dessas questões, a resolução não exigia mais do que uma equação linear simples, e o método utilizado pelos egípcios ficou conhecido na História da Matemática como Método da Falsa Posição (ou Regula Falsi simples).
Na antiguidade, antes da consolidação do simbolismo algébrico moderno, o método consistia em "chutar" um valor conveniente para a incógnita (a "falsa posição"), calcular o resultado obtido com esse valor e, a partir da razão entre o resultado correto e o falso, ajustar o palpite inicial para obter a resposta exata.
Por que o método funciona? (Fundamentação Teórica)
O Método da Falsa Posição funciona perfeitamente para equações lineares homogêneas do tipo:
$$ a_1 x + a_2 x + \dots + a_n x = b $$Podemos colocar $x$ em evidência e reescrever a equação sob a forma funcional $f(x) = b$, onde:
$$ f(x) = \left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right) x = k \cdot x $$Sendo $k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ uma constante real. Note que a função $f(x) = kx$ possui a propriedade de linearidade (proporcionalidade direta). Isso significa que, para qualquer constante de escala $c$, temos:
$$ f(c \cdot x) = k \cdot (c \cdot x) = c \cdot (k \cdot x) = c \cdot f(x) $$Suponha agora que assumimos um palpite inicial $x_f$ (o valor falso). Ao aplicar este valor na função, obtemos um resultado falso $b_f$:
$$ f(x_f) = b_f \tag{1} $$No entanto, desejamos encontrar o valor real $x_r$ tal que:
$$ f(x_r) = b_r \tag{2} $$Pela propriedade da proporcionalidade linear, a razão entre os valores reais e os valores falsos deve ser idêntica:
Isolando o valor real $x_r$, chegamos à regra prática do método:
$$ x_r = x_f \cdot \left( \frac{b_r}{b_f} \right) $$Em outras palavras: o valor real da incógnita é simplesmente o palpite inicial multiplicado pela razão de ajuste:
$$ \left(\frac{\text{resultado real}}{\text{resultado falso}}\right) $$Exemplo 1
Resolver a seguinte equação linear:
$$ x + \frac{x}{7} = 24 \tag{1} $$1. Assumindo um valor falso convenientemente:
Para eliminar o denominador da fração, escolhemos $x_f = 7$. Substituindo na expressão, obtemos o resultado falso $b_f$:
$$ 7 + \frac{7}{7} = 7 + 1 = 8 \tag{2} $$2. Calculando o fator de ajuste (razão entre o valor real e o valor falso):
Dividimos o resultado real ($b_r = 24$) pelo resultado obtido com a falsa posição ($b_f = 8$):
$$ \frac{b_r}{b_f} = \frac{24}{8} = 3 \tag{3} $$3. Encontrando o valor real de $x$:
Multiplicamos o fator de ajuste pelo valor assumido originalmente ($x_f = 7$):
$$ x_r = 7 \cdot 3 = 21 $$Verificação:
$$ 21 + \frac{21}{7} = 21 + 3 = 24 $$Exemplo 2
Dada a equação:
$$ x + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} = 23 \tag{1} $$1. Assumindo um valor falso:
Para simplificar os cálculos e eliminar os denominadores $3$ e $5$, escolhemos o mínimo múltiplo comum $x_f = 15$:
$$ 15 + \frac{15}{3} + \frac{15}{5} = 15 + 5 + 3 = 23 \tag{2} $$2. Calculando a razão entre os resultados:
$$ \frac{b_r}{b_f} = \frac{23}{23} = 1 \tag{3} $$3. Encontrando o valor real de $x$:
$$ x_r = 15 \cdot 1 = 15 $$Verificação:
$$ 15 + \frac{15}{3} + \frac{15}{5} = 15 + 5 + 3 = 23 $$Referências:
- Introdução à História da Matemática - Eves
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