Quem já folheou um livro de matemática provavelmente já deve ter se deparado com um quadradinho preto ao final de uma demonstração. Não vem nenhuma explicação, mas entendemos: acabou. Nos textos mais tradicionais, no lugar do quadrado vem escrito Q.E.D. ou C.Q.D., e o recado é o mesmo.
Os dois sinais dizem a mesma coisa, mas têm idades muito diferentes. O primeiro descende de uma fórmula que Euclides já usava há mais de dois mil anos. O segundo é de meados do século XX, e o matemático que o levou para os livros confessou que o tinha visto antes em revistas comuns. Neste post vou seguir essa história do início ao fim, com datas, nomes e também com os pontos em que as fontes não concordam entre si.
1. O que significa Q.E.D.
Q.E.D. é a abreviação da expressão latina quod erat demonstrandum, que se traduz, bem literalmente, por "o que era para ser demonstrado". Em português escrevemos C.Q.D., que significa "como queríamos demonstrar", uma adaptação livre, mas já consagrada. Também se encontra "conforme queríamos demonstrar".
A ideia é simples. Toda demonstração parte de uma proposição que queremos provar. Depois de desenvolvidos os argumentos, chegamos exatamente àquilo que tínhamos anunciado, e a sigla avisa o leitor de que o objetivo foi alcançado. Ela não é uma fórmula nem uma operação. É apenas uma declaração de encerramento, uma assinatura no fim do raciocínio.
2. Euclides e a fórmula grega
Em Os Elementos (por volta de 300 a.C.), Euclides organizou a geometria do seu tempo em definições, postulados, noções comuns, proposições e demonstrações. O modelo de exposição ficou famoso: enuncia-se uma afirmação, fixam-se as hipóteses e se conduz o argumento até a conclusão. E, ao final, vinha a frase:
$$ \Large \text{ὅπερ ἔδει δεῖξαι} $$o que significa "aquilo que era preciso mostrar". Arquimedes e outros geômetras gregos fechavam seus textos do mesmo modo. Note que Euclides jamais escreveu as letras Q.E.D.: a versão latina é uma tradução muito posterior da fórmula grega.
Havia uma segunda fórmula para outro tipo de proposição. Quando o texto não provava uma propriedade, mas ensinava a fazer uma construção, o fecho era:
$$ \Large \text{ὅπερ ἔδει ποιῆσαι} $$que significa "aquilo que devia ser feito". A primeira proposição do Livro I, a construção do triângulo equilátero com régua e compasso, termina assim. O latim deu a ela a sigla Q.E.F., de quod erat faciendum.
Em resumo, a distinção original era esta:
- Q.E.D. (quod erat demonstrandum): fecha a demonstração de uma propriedade;
- Q.E.F. (quod erat faciendum): fecha a resolução de um problema de construção;
- Q.E.I. (quod erat inveniendum, "o que era para ser encontrado"): aparece em problemas cujo objetivo é achar algo.
3. Do grego ao latim, e do latim ao mundo
Os geômetras medievais verteram a fórmula grega para o latim como quod erat demonstrandum, e o Renascimento multiplicou as edições dos Elementos. Durante séculos o latim foi a língua da produção acadêmica europeia, de modo que expressões latinas entraram na matemática e ficaram, mesmo depois que os livros passaram a ser escritos nos idiomas modernos.
Datar a primeira aparição impressa da frase latina é mais difícil do que parece, mas, segundo Veronika Oberparleiter, o uso mais antigo conhecido da frase quod erat demonstrandum apareceu em uma tradução de Bartholomew Zamberti sobre Euclides, publicada em Veneza em 1505.
A sigla é mais tardia. Aparece uma vez em 1598, em Johannes Praetorius; em 1643, em Anton Deusing; e de forma extensiva em 1655, em Isaac Barrow, já escrita como Q.E.D. Barrow usava ainda Q.E.F., Q.F.N. (quod fieri nequit, "o que não pode ser feito") e Q.E.A. (quod est absurdum, "o que é absurdo"). Galileu, nos Discorsi de 1638, preferiu variar: usou quod erat intentum, probandum, ostendendum, determinandum, propositum, entre outras. A sigla também aparece com Newton.
Quem deu ao Q.E.D. fama fora da matemática foi Spinoza. A Ética, publicada postumamente em 1677, foi escrita "à maneira dos geômetras", com definições, axiomas e proposições, e cada demonstração termina com o carimbo do Q.E.D. Não é comum um tratado de moral fechar cada passo como se fosse um teorema.
https://www.kufunda.net/publicdocs/%C3%89tica-%20Baruch%20de%20Espinoza.pdf
Nas línguas modernas, a tradição foi adaptada assim:
| Idioma | Expressão | Abreviação |
|---|---|---|
| Latim | Quod erat demonstrandum | Q.E.D. |
| Português | Como queríamos demonstrar | C.Q.D. |
| Espanhol | Como queríamos demostrar | C.Q.D. |
| Francês | Ce qu'il fallait démontrer | C.Q.F.D. |
| Alemão | Was zu beweisen war | w.z.b.w. |
A fórmula sobreviveu porque tinha uma função clara: separar o desenvolvimento da conclusão. Em muitos livros antigos de geometria, o autor repetia o enunciado da proposição no final e só então escrevia Q.E.D. A repetição era didática, pois lembrava ao leitor o que se pretendia provar e confirmava que tinha sido provado.
4. Halmos e o quadrado
Paul Richard Halmos (1916–2006), matemático húngaro-americano, trabalhou com teoria da medida e análise funcional e ficou conhecido também como um expositor admirável. Em 1950, no livro Measure Theory, ele usou pela primeira vez em um texto matemático o sinal $\blacksquare$, que hoje leva seu nome, no lugar de Q.E.D. e de frases como "isto completa a demonstração" (this completes the proof). O prefácio do livro explica o significado do símbolo.
O curioso é que Halmos não o inventou, e foi o primeiro a dizer isso. Na autobiografia I Want to Be a Mathematician: An Automathography (1985), ele conta que o sinal já aparecia em revistas populares, não matemáticas, antes de ele adotá-lo, e que, ainda assim, parecia ter sido ele a levá-lo para a matemática. Acrescenta que o nome mais comum é tombstone, "lápide", embora pelo menos um autor mais generoso o tenha chamado de "halmos".
Esses sinais de revista tinham até nome: end marks, "marcas de fim". Eram pequenas figuras geométricas, quadrados, retângulos, losangos, colocadas ao final de um artigo para avisar o leitor de que o texto terminava ali e não continuaria na página seguinte. Halmos pegou emprestada uma solução editorial e a transplantou para a prova. A vantagem era evidente: em vez de três letras latinas ou de uma frase inteira, um único traço que se desenha em um segundo no quadro-negro e dispensa tradução.
A adoção foi rápida. Em 1955, John L. Kelley usou o símbolo em General Topology e o atribuiu expressamente a Halmos. Howard Eves o menciona em 1958 como uma sugestão de Halmos. Costuma-se também associar a Halmos a popularização da abreviação "iff" (if and only if, o nosso "se, e somente se"), de modo que ele tem duas marcas deixadas na escrita matemática que quase ninguém percebe mais como invenções de alguém.
5. Por que "lápide"? E por que "halmos"?
O apelido tombstone vem do formato: um retângulo ou quadrado cheio lembra uma pedra tumular estilizada. Não há nenhuma relação histórica com funerais ou com a morte de algum matemático, é só uma associação visual e bem-humorada. Alguns autores gostam de completar a imagem dizendo que a prova estava "viva" enquanto era construída e que o símbolo a "enterra" no fim. É uma interpretação informal, mais da tradição oral do que da história.
O nome "halmos" (ou "caixa de Halmos", Halmos box) é uma homenagem a quem o introduziu na matemática. Em textos técnicos o sinal também aparece simplesmente como end-of-proof symbol, "símbolo de fim de demonstração".
6. Cheio, vazado, retângulo
Não existe uma regra única. O sinal aparece de várias formas, e todas significam "a prova terminou":
| Sinal | Nome comum | Observação |
|---|---|---|
| $\blacksquare$ | Quadrado cheio, halmos, tombstone | O mais associado a Halmos |
| $\square$ | Quadrado vazado | Padrão $\text{AMS}-\LaTeX$ |
| Q.E.D. / C.Q.D. | Sigla clássica | Estilo mais tradicional ou didático |
Os padrões de codificação também oficializaram o sinal. O Unicode tem o caractere U+220E, end of proof $\left( \blacksquare \right)$. A escolha entre o cheio e o vazado, ou entre quadrado e retângulo, é estética e editorial: depende do livro, da editora, da fonte e do gosto do autor. É por isso que você encontra obras com um e obras com outro sem nenhuma diferença de sentido.
7. O quadrado chega ao $\TeX$
A popularização do símbolo coincidiu com a modernização da composição de textos científicos. O sistema $\TeX$, criado por Donald Knuth no final da década de 1970, e depois o conjunto de ferramentas $\text{AMS}-\LaTeX$, feito para as necessidades da publicação matemática, trouxeram ambientes próprios para teoremas e demonstrações. O exemplo clássico:
\begin{proof}
Demonstração do resultado.
\end{proof}
Ao fechar o ambiente proof, o sistema insere sozinho o símbolo de fim, por padrão um quadrado vazado. O comando \qedsymbol define qual sinal será usado, e \blacksquare produz especificamente o quadrado cheio. Quando a demonstração termina numa equação destacada, o comando \qedhere coloca o símbolo na mesma linha da fórmula, em vez de jogá-lo para uma linha própria. Em 1994, Paul Taylor ainda publicou um pacote, o qed.sty, dedicado a posicionar a marca de fim alinhada à direita.
Com isso o quadrado deixou de ser só uma escolha de estilo e passou a fazer parte da infraestrutura tipográfica dos livros e artigos de matemática.
8. Ele é realmente necessário?
Do ponto de vista lógico, não. Uma demonstração é válida com Q.E.D., com quadrado ou sem nenhuma marca. O símbolo não acrescenta nada à validade do argumento, e sua função é comunicativa e editorial. Mas essa função é útil, por alguns motivos:
- não se confunde com uma letra, uma variável ou parte do argumento;
- ocupa pouco espaço, bem menos que uma sigla ou uma frase;
- independe de idioma, já que matemáticos de qualquer país o reconhecem;
- alinhado à direita, separa visualmente a prova do texto corrido que vem depois, com comentários, observações, exemplos ou novas proposições.
Ele pode aparecer em lugares diferentes: logo depois de uma impossibilidade lógica numa demonstração por contradição, depois de uma igualdade, de uma sequência de desigualdades ou de uma conclusão escrita em palavras. Em todos os casos faz papel de ponto final, só que mais específico, porque encerra não uma frase, mas uma estrutura lógica inteira.
9. Um exemplo para ver o sinal em ação
Vamos provar que a soma de dois números pares é um número par.
Sejam $2m$ e $2n$ dois números pares, com $m$ e $n$ inteiros. Então
$$ 2m + 2n = 2(m+n) $$Como $m+n$ é um inteiro, $2(m+n)$ é par. Logo, a soma de dois números pares é par.
$$ \text{C.Q.D.} \quad \blacksquare $$Repare que o quadrado não prova nada. Quem fez o trabalho foi o argumento; o sinal só avisa que ele chegou ao destino.
10. Os quadrados de James Stewart
Em seu livro de Cálculo, James Stewart utilizou uma variação do símbolo de Halmos: um retângulo cor de rosa:
O exemplo acima pode ser encontrado em Cálculo, volume 2, James Stewart, página 640. Note que foi adotado um retângulo horizontal, da mesma cor que o enunciado do teorema.
11. E hoje?
Nos livros e artigos modernos o quadrado é quase onipresente, mas o Q.E.D. não sumiu. Ainda o vemos nas lousas, em materiais didáticos e em quem prefere manter a tradição latina. Há também quem o ache arcaico, até um pouco pretensioso, e as saídas bem-humoradas existem: o "WWWWW", de Which Was What Was Wanted ("o que era o que se queria"), já foi usado como brincadeira.
A história inteira cabe numa linha do tempo:
| Época | O que aconteceu |
|---|---|
| c. 300 a.C. | Euclides fecha as proposições dos Elementos com $\text{ὅπερ ἔδει δεῖξαι}$ (e $\text{ὅπερ ἔδει ποιῆσαι}$ nas construções) |
| 1505 | Possível primeira aparição impressa do quod erat demonstrandum numa tradução de Euclides (Zamberti) |
| 1598 | A sigla aparece em Praetorius |
| 1638 | Galileu usa variações do fecho nos Discorsi |
| 1643 | Q.E.D. em Anton Deusing |
| 1655 | Uso extensivo da sigla em Isaac Barrow |
| 1677 | Spinoza publica a Ética, com Q.E.D. depois de cada proposição |
| 1950 | Halmos usa o quadrado em Measure Theory |
| 1955 | Kelley usa e atribui o símbolo a Halmos em General Topology |
| 1958 | Howard Eves o menciona como sugestão de Halmos |
| 1985 | Halmos conta a origem do símbolo em I Want to Be a Mathematician |
| Década de 1970 em diante | TeX e AMS-LaTeX inserem o sinal automaticamente; mais tarde, o Unicode o registra como U+220E |
Quando você terminar uma demonstração com um quadradinho, está repetindo um gesto que passou por Euclides, pelos tradutores medievais, por Barrow e Spinoza, e que foi parar numa revista de variedades antes de chegar ao quadro-negro. Mais de vinte séculos depois, a mensagem continua a mesma: está demonstrado.
Referências:
História do Q.E.D.- Q.E.D. (Wikipédia, em inglês): https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.
- Quod erat demonstrandum (Wikipédia, em português): https://pt.wikipedia.org/wiki/Quod_erat_demonstrandum
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, letra Q (Jeff Miller, MacTutor): https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/q/
- Q.E.D. (Wolfram MathWorld): https://mathworld.wolfram.com/QED.html
- QED (PlanetMath): https://planetmath.org/QED
- History of Q.E.D. (Idiom Origins): https://idiomorigins.org/origin/qed
- Nuno Crato, "Q.E.D." (Gazeta de Matemática): http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=143
O quadrado e o símbolo de Halmos
- Tombstone (typography) (Wikipédia): https://en.wikipedia.org/wiki/Tombstone_(typography)
- Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic, verbete "halmos" (MacTutor): https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/set/
- Halmos Symbol (ProofWiki): https://proofwiki.org/wiki/Definition:Halmos_Symbol
- Who replaced the solid Halmos QED symbol with the open one? (History of Science and Mathematics, Stack Exchange): https://hsm.stackexchange.com/questions/2899/who-replaced-the-solid-halmos-qed-symbol-with-the-open-one
- Why does drawing a square mean the end of a proof? (Mathematics Stack Exchange): https://math.stackexchange.com/questions/56606/why-does-drawing-square-mean-the-end-of-a-proof
- Paul Halmos, Measure Theory (1950), no Internet Archive: https://archive.org/details/measuretheory00halm/page/22
- Paul Halmos, I Want to Be a Mathematician (1985), trecho no Google Books: https://books.google.com/books?id=7VblBwAAQBAJ&q=tombstone&pg=PA3
Tipografia $\LaTeX$
- Paul Taylor, QED.sty: right-justified end-of-proof mark: https://www.paultaylor.eu/~pt/proofs/QEDdoc
- American Mathematical Society, Charming Proofs (apresenta a origem grega do Q.E.D. e o símbolo de Halmos): https://www.ams.org/books/dol/042/dol042-endmatter.pdf
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