O heptágono regular é um dos polígonos regulares que não podem ser construídos com régua e compasso clássicos, mas possui uma propriedade interessante envolvendo duas classes de diagonais. Se o lado do heptágono tiver comprimento unitário, isto é, $a = 1$, então a soma da diagonal menor com a diagonal maior é exatamente igual ao produto dessas duas diagonais:
$$ d_1 + d_2 = d_1 d_2 \tag{1} $$Neste artigo, vamos identificar as duas diagonais do heptágono, demonstrar a relação utilizando um quadrilátero cíclico formado por quatro de seus vértices utilizando o Teorema de Ptolomeu e, em seguida, generalizar o resultado para um heptágono cujo lado tenha medida arbitrária $k$.
1. As diagonais do heptágono regular
Considere um heptágono regular $ABCDEFG$, com os vértices nomeados em sentido horário e todos os lados medindo $a=1$:
Em um heptágono regular, existem apenas dois comprimentos distintos de diagonais: A diagonal menor e a diagonal maior.
1.1. Diagonal menor
A diagonal menor une dois vértices separados por um único vértice. Por exemplo:
[heptagono e suas diagonais menores]Essas diagonais correspondem às cordas da circunferência que subtendem um arco formado por dois lados consecutivos do heptágono.
1.2. Diagonal maior
A diagonal maior une dois vértices separados por dois vértices intermediários. Por exemplo:
[heptagono e suas diagonais maiores]Essas diagonais correspondem às cordas que subtendem um arco formado por três lados consecutivos do heptágono.
Como três lados correspondem a um arco maior do que o arco correspondente a dois lados, temos naturalmente:
$$ d_2 > d_1 $$2. Demonstração através do Teorema de Ptolomeu
O Teorema de Ptolomeu afirma que, em qualquer quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.
A grande vantagem do heptágono regular é que podemos escolher quatro de seus vértices de maneira que os segmentos envolvidos no Teorema de Ptolomeu sejam precisamente $d_1$ e $d_2$.
2.1. O quadrilátero $ABCE$
Vamos considerar os vértices $A$, $B$, $C$ e $E$ do heptágono regular. Como todos eles pertencem à circunferência circunscrita, o quadrilátero $ABCE$ é cíclico.
Vamos identificar seus lados e diagonais:
- $AB = 1$
- $BC = 1$
- $CE = d_1$
- $EA = d_2$
As diagonais do quadrilátero são:
- $AC = d_1$
- $BE = d_2$
Aplicando o Teorema de Ptolomeu ao quadrilátero $ABCE$, temos:
$$ AC \cdot BE = AB \cdot CE + BC \cdot EA $$Substituindo os comprimentos conhecidos:
$$ d_1 \cdot d_2 = 1 \cdot d_1 + 1 \cdot d_2. $$Logo:
$$ d_1 d_2 = d_1 + d_2 \tag{3} $$Está demonstrada a relação procurada.
A escolha do quadrilátero $ABCE$ é particularmente conveniente, porque os quatro lados são justamente compostos por dois lados do heptágono e pelas duas classes de diagonais:
$$ AB = BC = 1, \quad CE = d_1,\quad EA = d_2 $$E como as diagonais do quadrilátero são exatamente $d_1$ e $d_2$, aplicando o Teorema de Ptolomeu encontramos rapidamente a relação:
$$ d_1 d_2 = d_1 + d_2 $$Não é necessário conhecer previamente os valores exatos das diagonais para estabelecer essa relação.
3. Valores numéricos das diagonais
Embora a igualdade anterior possa ser demonstrada sem calcular individualmente as diagonais, podemos obter seus valores por meio da geometria das cordas de uma circunferência.
Como $R$ é o raio da circunferência circunscrita ao heptágono, o lado e as duas diagonais são cordas que subtendem ângulos centrais de $\dfrac{2π}{7}$, $\dfrac{4π}{7}$ e $\dfrac{6π}{7}$, respectivamente.
Utilizamos a fórmula para calcular uma corda em uma circunferência:
$$ c = 2\ r \ \text{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right) \tag{4} $$3.1. Ângulo central de $\dfrac{2\pi}{7}$:
Neste caso, tomamos a corda $AB$, que é igual a $a=1$:
$$ 1 = 2\ R\ \text{sen} \left( \dfrac{\dfrac{2\pi}{7}}{2} \right) \\[1em] 1 = 2\ R\ \text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right) $$Isolando $R$, obtemos:
$$ R = \frac{1}{2\ \text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right)} \tag{5} $$3.2. Ângulo central de $\dfrac{4\pi}{7}$:
Neste caso, tomamos a corda $AC$, que é a diagonal menor $d_1$:
$$ d_1 = 2\ R\ \text{sen} \left( \dfrac{\dfrac{4\pi}{7}}{2} \right) \\[1em] d_1 = 2\ R\ \text{sen} \left( \dfrac{2\pi}{7} \right) $$Substituindo o valor de $R$:
$$ d_1 = 2\ R\ \text{sen} \left( \dfrac{2\pi}{7} \right)\\[1em] d_1 = 2\cdot \frac{1}{2\ \text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right)} \cdot \text{sen} \left( \dfrac{2\pi}{7} \right) $$Obtendo:
$$ d_1 = \frac{\text{sen} \left( \dfrac{2\pi}{7} \right)}{\text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right)} \tag{6} $$Observe que argumento do seno no numerador é o dobro do denominador. Assim, podemos usar a identidade do arco duplo, onde:
$$ \text{sen}(2x) = 2\ \text{sen}(x)\ \text{cos}(x) $$Fazendo $x=\dfrac{\pi}{7}$, temos:
$$ \text{sen}\left(\frac{2\pi}{7}\right) = 2\ \text{sen}\left(\frac{\pi}{7}\right)\ \text{cos}\left(\frac{\pi}{7}\right) $$Substituindo em $(6)$, obtemos:
$$ d_1 = \frac{2\ \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\ \text{cos}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)}{\text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right)} $$Simplificando, obtemos:
$$ d_1 = 2\ \text{cos} \left(\dfrac{\pi}{7}\right) \tag{7} $$Numericamente:
$$ d_1 \approx 1,801937736 $$3.3. Ângulo central de $\dfrac{6\pi}{7}$:
Neste caso, tomamos a corda $AD$, que é a diagonal maior $d_2$:
$$ d_2 = 2\ R\ \text{sen} \left( \frac{\dfrac{6\pi}{7}}{2} \right) \\[1em] d_2 = 2\ R\ \text{sen} \left( \frac{3\pi}{7} \right) $$Substituindo o valor de $R$:
$$ d_2 = 2\ \cdot \frac{1}{2\ \text{sen} \left( \dfrac{\pi}{7} \right)} \cdot \text{sen} \left( \frac{3\pi}{7} \right) $$Simplificando, obtemos:
$$ d_2 = \frac{\text{sen}\left(\dfrac{3\pi}{7}\right)}{\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)} \tag{8} $$Observe que o argumento do seno que está no numerador é o triplo do que aparece no denominador. Usamos a identidade do arco triplo:
$$ \text{sen}(3x) = 3\ \text{sen}(x) - 4\ \text{sen}^3 (x) $$Fazendo $x = \dfrac{\pi}{7}$, temos:
$$ \text{sen}\left(\dfrac{3\pi}{7}\right) = 3\ \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{7}\right) - 4\ \text{sen}^3 \left(\dfrac{\pi}{7}\right) $$Substituindo em $(8)$, obtemos:
$$ d_2 = \frac{3\ \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{7}\right) - 4\ \text{sen}^3 \left(\dfrac{\pi}{7}\right)}{\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)} \\[1em] d_2 = 3 - 4\ \text{sen}^2 \left(\frac{\pi}{7}\right) $$Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
$$ \text{sen}^2 (x) = 1 - \text{cos}^2 (x) $$Obtemos:
$$ d_2 = 3 - 4\ \left[ 1 - \text{cos}^2 \left( \frac{\pi}{7} \right) \right] \\[1em] d_2 = 3 - 4 + 4\ \text{cos}^2 \left( \frac{\pi}{7} \right) $$Chegamos à relação:
$$ d_2 = 4\ \text{cos}^2 \left( \frac{\pi}{7} \right) - 1 \tag{9} $$Numericamente:
$$ d_2 \approx 2,246979604 $$Esses valores confirmam a desigualdade esperada:
$$ d_2 > d_1 > 1 $$4. Verificação numérica da relação
Utilizando os valores aproximados:
$$ d_1 \approx 1,801937736 $$ $$ \text{e} $$ $$ d_2 \approx 2,246979604, $$Calculamos a soma:
$$ d_1 + d_2 \approx 1,801937736 + 2,246979604 \\[1em] d_1 + d_2 \approx 4,048917340 $$Agora calculamos o produto:
$$ d_1 d_2 \approx 1,801937736 \times 2,246979604 \\[1em] d_1 d_2 \approx 4,048917340 $$Portanto:
$$ d_1 + d_2 = d_1 d_2 $$5. A relação quadrática entre $d_1$ e $d_2$
Partindo da relação da diagonal menor:
$$ d_1 = 2\ \text{cos}\left(\frac{\pi}{7}\right) $$Elevamos ambos os membros ao quadrado:
$$ d_1^{\ 2} = 4\ \text{cos}^2 \left(\frac{\pi}{7}\right) $$Agora, substituímos na relação da diagonal maior:
$$ d_2 = 4\ \text{cos}^2 \left( \frac{\pi}{7} \right) - 1 \\[1em] d_2 = d_1^{\ 2} - 1 $$A diagonal maior é o quadrado da diagonal menor menos 1. Essa é uma relação lindíssima, simétrica e fácil de verificar numericamente.
6. Generalização para um lado de medida $k$
Como estamos partindo de um heptágono regular de lado unitário e passando para um heptágono regular de lado $k$, todas as dimensões lineares são multiplicadas pelo mesmo fator de escala $k$. Em particular, suas diagonais também são multiplicadas por $k$.
Assim, se $d_1$ e $d_2$ representam, respectivamente, a diagonal menor e a diagonal maior do heptágono unitário, então as diagonais correspondentes do heptágono de lado $k$, que denotaremos por $D_1$ e $D_2$, são:
$$ D_1=k\ d_1 $$e
$$ D_2=k\ d_2 $$Aplicando o Teorema de Ptolomeu diretamente ao quadrilátero correspondente $ABCE$, agora com $AB = BC = k$, obtemos:
$$ AC \cdot BE = AB \cdot CE + BC \cdot EA $$Substituindo:
$$ D_1 D_2 = k\ D_1 + k\ D_2 $$Colocando $k$ em evidência:
$$ D_1 D_2 = k(D_1 + D_2) \tag{10} $$Essa é a forma geral da propriedade, podendo ser reescrita equivalentemente como:
$$ D_1 + D_2 = \frac{D_1 D_2}{k} \tag{11} $$Ou ainda, dividindo a igualdade por $k\ D_1\ D_2$:
$$ \frac{1}{D_1} + \frac{1}{D_2} = \frac{1}{k} \tag{12} $$Essa última expressão explica a relação que aparece naturalmente quando o lado do heptágono não é unitário.
7. Exemplo para um heptágono de lado $k = 3$
Considere agora um heptágono regular cujo lado mede $k=3$.
Como as dimensões são três vezes maiores que as do heptágono unitário, temos:
$$ D_1 = 3\ d_1 $$e
$$ D_2 = 3\ d_2 $$Utilizando os valores aproximados das diagonais do heptágono unitário:
$$ D_1 \approx 3 \times 1,801937736 \\[1em] D_1 \approx 5,405813208 $$Para a diagonal maior:
$$ D_2 \approx 3 \times 2,246979604 \\[1em] D_2 \approx 6,740938812 $$A soma das diagonais é, portanto:
$$ D_1 + D_2 \approx 5,405813208 + 6,740938812 \\[1em] D_1 + D_2 \approx 12,146752020 $$Já o produto vale:
$$ D_1 D_2 \approx 5,405813208 \times 6,740938812 \\[1em] D_1 D_2 \approx 36,440256060 $$Segundo a relação geral:
$$ D_1 D_2 = k(D_1 + D_2) $$Como $$k = 3$$:
$$ 3(D_1 + D_2) \approx 3 \times 12,146752020 \\[1em] 3(D_1 + D_2) \approx 36,440256060 $$Assim, a igualdade é novamente confirmada:
$$ D_1 D_2 = 3(D_1 + D_2) $$8. A construtibilidade do heptágono regular
Ao contrário de alguns polígonos regulares, o heptágono regular não pode ser construído exatamente utilizando apenas régua e compasso.
O critério geral para a construção de polígonos regulares com régua e compasso foi estabelecido por Gauss e posteriormente completado por Wantzel. Segundo esse critério, um polígono regular de $n$ lados é construtível se, e somente se, $n$ pode ser escrito na forma
$$ n = 2^k \, p_1 \, p_2 \cdots p_m \tag{13} $$onde $k \geq 0$ é um inteiro e os $p_i$ são primos de Fermat distintos, isto é, primos da forma
$$ F_j = 2^{2^j} + 1 \tag{14} $$Os primeiros primos de Fermat são $F_0 = 3$, $F_1 = 5$, $F_2 = 17$, $F_3 = 257$ e $F_4 = 65537$. Como $7$ não é um primo de Fermat, o heptágono regular não satisfaz esse critério. Portanto, sua construção exata não é possível utilizando apenas régua não graduada e compasso.
Isso, entretanto, não impede que suas propriedades geométricas sejam estudadas exatamente. A relação demonstrada neste artigo é um exemplo disso: mesmo sem uma construção clássica do heptágono, podemos estabelecer rigorosamente relações entre seus lados e suas diagonais.
Referências:
- A impossibilidade das construções clássicas com régua e compasso, com aplicações no ensino básico - Cassaro
- Construção d um heptágono regular com régua e compasso
- Fundamentos de Matemática Elementar V9: Geometria Plana - Osvaldo Dolce
- Geometria II - Morgado
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