Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.
Teorema:
Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\
\beta & + & \delta & = & 180^\circ
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Demonstração:
Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:\begin{equation}
\alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2}
\end{equation}
Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
\begin{equation}
\gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{equation}
Assim:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
\alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\
\gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ
\end{equation}Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.
Exemplos:
$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:
Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:
Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo
Os quadriláteros com lados de medida inteira inscritíveis numa circunferência. Assim, os lados 49, 47, 26 e 22 formam um desses quadriláteros.
ResponderExcluirSe duas diferenças são iguais, como 192 = 49^2 – 47^2 = 26^2 – 22^2, também se verificará que 492 + 222 = 262 + 472, que se pode interpretar como dois triângulos retângulos que tem um mesmo diâmetro, portanto formarão um quadrilátero inscritível.
Abraços
Prof. Sebá
Muito bom esse estudo. Gostei bastante :D
ResponderExcluirlol
ResponderExcluirvlw deu pra entender tudo e vlw pelos exemplo
ResponderExcluirNo quadro de ANÓNIMO não entendo a razão de ser da igualdade 492 + 222 = 262 + 472.
ResponderExcluirNa verdade, faltou indicar o expoente 2:
Excluir49^2 + 22^2 = 26^2 + 47^2
Você pode viver uma vida inteira ao lado de uma pessoa e nunca, nunca a conhecerá por inteiro. " ...Porque o conhecimento é infinito." M FLOYD
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