Teorema do Quadrilátero Inscritível

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.

Teorema:

Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
$$\begin{equation} \left\{\begin{matrix} \alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\ \beta & + & \delta & = & 180^\circ \end{matrix}\right. \end{equation}$$

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:
$$\begin{equation} \alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2} \end{equation}$$

Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
$$\begin{equation} \gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2} \end{equation}$$
Assim:
$$\begin{equation} \left.\begin{matrix} \alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\ \gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ \end{equation}$$ Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.

Exemplos:

$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:

 Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

• Organograma dos Quadriláteros Notáveis
• Teorema do Ângulo Inscrito
• Quadriláteros Notáveis