Construção de um heptágono regular com régua e compasso (Parte 1)

O Heptágono regular foi fonte de muito mistério na Geometria, quanto à sua construção com régua e compasso, apenas.

Gaus provou aos $19$ anos que o heptadecágono regular é construtível com régua e compasso. De seus estudos sobre a contrutibilidade de $p-\text{ágonos}$ regulares, ou seja, polígonos de $p$ lados, sendo $p$ um número primo, descobriu que são construtíveis se, e somente se, $p$ é um número de Fermat:
\begin{equation*}
\Large p = 2^{n^n}+1
\end{equation*}
Suas análises aparecem na obra: Disquisitiones Arithmeticae.

Como $7$ não é um número primo de Fermat, a construção de um heptágono regular é impossível utilizando régua e compasso. A construção que segue é apenas uma boa aproximação, mas dependendo da aplicação, pode ser tomada como satisfatória.

Construção:

$1)$ Trace o segmento $AB$ prolongando-o no sentido de $B$:

$2)$ Com centro em $B$ e raio $BA$, descreva a circunferência e marque como $M$ a intresecção com o prolongamento de $AB$:

$3)$ Suba a perpendicular em $B$:

$4)$ Com centro em $A$ e raio $AM$, descreva o arco e marque como $N$ a intersecção com a perpendicular:

$5)$ Trace a bissetriz interna do arco $MN$ e marque como $P$ a intersecção com a perpendicular:

$6)$ Agora, descreva dois arcos: o primeiro com centro em $A$ e raio $AP$ e o segundo com centro em $B$ e raio $AP$. A intersecção desses arcos marque como $O$, que será o centro da circunferência circunscrita ao heptágono:

$7)$ Com centro em $O$ descreva a circunferência de raio $AO$ e marque como $C$ a intersecção com a primeira circunferência. Vejam que já obtivemos dois lados do heptágono:

$8)$ Com raio $AB$ descreve arcos sobre a circunferência que circunscreve o heptágono, primeiro com centro em $C$ e marque o ponto $D$ na intersecção com a circunferência; depois com centro em $D$ marque como $E$ a intersecção com a circunferência; e assim até formar os $7$ lados, obtendo o heptágono circunscrito a partir do lado:

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