O Teorema de Pitágoras é um dos pilares fundamentais da matemática, amplamente conhecido por sua aplicação na Geometria Plana. Contudo, sua elegância e utilidade não se limitam ao plano bidimensional. Quando estendido ao espaço tridimensional, o Teorema de Pitágoras permite calcular distâncias em um contexto mais amplo e complexo, fornecendo uma base essencial para a Geometria Analítica, a Física e várias engenharias.
Neste artigo, exploraremos a extensão do Teorema de Pitágoras para três dimensões, possibilitando lidar com problemas geométricos no espaço tridimensional. Veremos como a incorporação de um triângulo retângulo de forma oblíqua dentro de um sólido retangular nos leva a uma generalização do teorema.
Abordaremos a definição de Quartetos Pitagóricos, conjuntos de quatro inteiros positivos que satisfazem a relação pitagórica tridimensional. A geração desses quartetos, através de fórmulas paramétricas, ilustra a profundidade e a beleza matemática dessa extensão.
Por fim, discutiremos a Fórmula da Distância, uma consequência direta do Teorema de Pitágoras, que permeia tanto a matemática básica quanto a avançada. Essa fórmula é essencial para a análise geométrica em espaços tridimensionais e se aplica a uma vasta gama de disciplinas científicas e tecnológicas.
Dado um paralelepípedo, de lados $a$, $b$ e $c$, vamos denotar como $x$ a diagonal de uma das faces e vamos denotar como $d$ a diagonal principal:
Teorema 1:
Dado um sólido retangular de lados $a$, $b$ e $c$, o quadrado da diagonal principal $d$ é dado por:
$$a^2 + b^2 + c^2 = d^2
$$
Demonstração:
A partir do Teorema de Pitágoras, temos que:
$$x^2 + c^2 = d^2 \tag{1}
$$
e
$$
a^2 + b^2 = x^2 \tag{2}
$$
Substituindo a equação $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$a^2 + b^2 + c^2 = d^2 \tag{3}
$$
Quartetos Pitagóricos:
Um quarteto pitagórico é um conjunto de quatro inteiros positivos $a$, $b$, $c$ e $d$, tal que satisfazem a relação pitagórica tridimensional expressa pela equação:
$$a^2+b^2+c^2=d^2
$$
Assim como os ternos pitagóricos estão associados ao plano, os quartetos pitagóricos estão associados ao espaço tridimensional. Podemos obter quartetos pitagóricos $(a,b,c,d)$ utilizando as fórmulas abaixo:
$$\begin{align*}
a &= u^2\\
b &= 2\ u\ v\\
c &= 2\ v^2\\
d &= u^2 + 2\ v^2
\end{align*}
$$
Para verificarmos que as relações acima são válidas, podemos elevar ao quadrado as igualdades $a$, $b$ e $c$ e somá-las:
$$\big(u^2\big)^2 + \big(2\ u\ v\big)^2+\big(2\ v^2\big)^2 =\\
\ \\
u^4 + 4\ u\ v +4\ v^4=\\
\ \\
\big(u^2+2\ v^2\big)^2=d^2
$$
Podemos construir uma tabela contendo os quartetos pitagóricos:
| $u$ | $v$ | $a=v^2$ | $b=2\ u\ v$ | $c=2\ v^2$ | $d = u^2 + 2\ v^2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 4 | 4 | 2 | 6 |
| 3 | 1 | 9 | 6 | 2 | 11 |
| 3 | 2 | 9 | 12 | 8 | 17 |
| 4 | 1 | 16 | 8 | 2 | 18 |
| 4 | 2 | 16 | 16 | 8 | 24 |
| 4 | 3 | 16 | 24 | 18 | 34 |
| 5 | 1 | 25 | 10 | 2 | 27 |
| 5 | 2 | 25 | 20 | 8 | 33 |
| 5 | 3 | 25 | 30 | 18 | 43 |
| 5 | 4 | 25 | 40 | 32 | 57 |
| 6 | 1 | 36 | 12 | 2 | 38 |
| 6 | 2 | 36 | 24 | 8 | 44 |
Calculando distâncias no espaço:
A fórmula para distância entre dois pontos no espaço é uma consequência direta do Teorema de Pitágoras aplicada à Geometria Analítica.
Teorema 2:
Sejam $P_1(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2(x_2,y_2,z_2)$ dois pontos no espaço tridimensional. A distância $d$ entre esses pontos é o módulo do vetor $\overrightarrow{P_1P_2}$, dado por:
d(P_1P_2) = ||\overrightarrow{P_1P_2}||
$$
Ou seja:
$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
$$
Demonstração:
Da relação $(3)$, temos que:
$$d^2 = a^2 + b^2 + c^2
$$
Substituindo as coordenadas que definem cada lado do sólido, obtemos:
$$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\
\ \\
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
$$
Exemplo:
Dados os pontos $P_1(7,3,4)$ e $P_2(1,0,6)$, calcular a distância entre eles.
Temos que:
$x_1 =7$ e $x_2=1$
$y_1=3$ e $y_2=0$
$z_1=4$ e $z_2=6$
Assim:
$$d = \sqrt{(1-7)^2 + (0-3)^2 + (6-4)^2}\\
\ \\
d = \sqrt{36+9+4}\\
\ \\
d = 7
$$
Assim, a distância entre os pontos $P_1$ e $P_2$ mede 7 unidades de comprimento.
Referências:
- The Phytagorean Theorem - Crown Jewel of Mathematics - John C. Sparks
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