A natureza do infinito é uma questão antiga e controversa. Arquimedes (287-212 a.C.) fazia distinção entre infinito potencial e infinito atual. Esse último, que vem a ser o infinito como algo completo, era descartado por não haver nenhuma evidência de que alguma coleção de objetos pudesse corresponder a tai ideia.
O conjunto $\mathbb{N}$, por outro lado, é um exemplo de conjunto potencialmente infinito, pois sempre se pode somar uma unidade a cada um de seus elementos obtendo-se outro número natural.
No século XVII, Galileu comprou os conjuntos $\mathbb{N}^*={1,2,3, \cdots}$ e $P={2,4,6, \cdots}$ e assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas, posto que a correspondência:
$$1 \rightarrow 2\\
2 \rightarrow 4\\
3 \rightarrow 6\\
n \rightarrow 2n\\
\cdots
$$
de $\mathbb{N}^*$ em $P$ é, como dizemos hoje, biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado a deixar de lado tais cogitações.
Aliás, a ideia de infinito atual, por ter conotações de ordem religiosa, não era aceita também por certos teólogos (São Tomás de Aquino, por exemplo) que viam em Deus a única natureza absolutamente infinita. E isso deve ter contribuído para que sua adoção fosse retardada na Matemática.
Curiosamente, quem tirou a Matemática dessa "camisa de força" foi um homem de profunda fé religiosa, Georg Cantor (1845-1918).
Cantor nasceu na Rússia, na cidade de São Petersburgo, mas aos 11 anos mudou-se com sua família para a Alemanha, onde se fixou. Em 1862, iniciou o curso de Engenharia em Zurique mas, depois de um semestre, deixou-o para fazer Matemática em Berlim, em cuja universidade obteve o grau de doutor no ano de 1867 com uma tese sobre teoria dos números. Dois anos depois foi admitido na Universidade de Halle, onde transcorreria sua carreira acadêmica.
Dedicando-se entre 1870 e 1872 a pesquisa na área de análise matemática, Cantor acabou tendo sua atenção atraída para um assunto com o qual seu espírito tinha especial afinidade: a natureza dos conjuntos infinitos. E de sua opção por este caminho nasceria a teoria dos conjuntos como capítulo da Matemática.
Em 1872, o matemático alemão Dedekind dera o primeiro passo nesse sentido com a seguinte definição (aqui escrito em definição moderna):
Um conjunto se diz infinito se pode ser colocado em correspondência biunívoca com uma parte própria de si mesmo.
Ou seja, aquilo que a Galileu parecera um paradoxo tornava-se a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, com todas as sua implicações.
O grande mérito de Cantor foi perceber, a partir daí, a existência de conjuntos infinitos de espécies diferentes, numa escala de grandeza. Se dois conjuntos, como $\mathbb{N}^*$ e $P$, podem ser colocados em correspondência biunívoca, diz-se que ambos têm mesma potência. E foi através dessas potências que Cantor hierarquizou o infinito.
Na primeira categoria da escala do infinito estão todos os conjuntos com a mesma potência de $\mathbb{N}^*$, entre os quais estão $P$, $\mathbb{Z}$ e, surpreendentemente, o próprio $\mathbb{Q}$. Estes são os conjuntos enumeráveis. A sequência a seguir, em que os números são ordenados pela sua altura (= numerador + denominador), dá uma ideia do porquê de $\mathbb{Q}^*_+$ ser também enumerável:
$$\frac{1}{1}\ , \ \frac{1}{2}\ , \ \frac{2}{1} \ , \ \frac{1}{3} \ , \ \frac{2}{2} \ , \ \frac{3}{1} \ , \ \frac{1}{4} \ , \ \frac{2}{3} \ , \ \frac{3}{2} \ , \ \frac{4}{1}\ , \cdots
$$
Cantor mostrou que $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ têm a mesma potência e que esta é superior à dos enumeráveis. E mostrou ainda que a escala do infinito não tem limites: sempre há potências maiores.
Certos resultados obtidos por Cantor surpreenderam a ele mesmo. Sob esse ponto de vista é possível entender o porquê das duras críticas que recebeu de importantes matemáticos de seu tempo. Mas, para o progresso da Matemática, prevaleceram opiniões como a de Hilbert:
Do paraíso criado por Cantor ninguém nos tirará.
Georg Cantor manteve uma extensa correspondência com o David Hilbert . Eles trocaram ideias, discutiram problemas matemáticos e apoiaram-se mutuamente. Sua correspondência resultou em avanços significativos no campo da matemática.
O trabalho inovador de Cantor lançou as bases para muitas áreas da matemática moderna , incluindo topologia, lógica e análise. Suas noções de infinito e teoria dos conjuntos tiveram um impacto profundo em nossa compreensão das estruturas matemáticas e continuam a moldar a pesquisa matemática até hoje.
Suas ideias inovadoras sobre o infinito e a teoria dos conjuntos revolucionaram o campo, garantindo-lhe um lugar entre os maiores matemáticos da história.
O trabalho de Cantor sobre o infinito desafiou as ideias matemáticas estabelecidas em sua época, particularmente a noção de que existe apenas um tipo de infinito. Ele mostrou que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, o que ia contra a crença predominante de que o infinito é um conceito único e homogêneo.
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções
Veja mais:
- O Paradoxo do Hotel de Hilbert
- A História do Símbolo do Infinito
- O Infinito não é um Número. É um conceito Matemático
- O Homem que Compreendeu o Infinito no blog do Professor Edigley Alexandre
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