Considere um quadrilátero qualquer, côncavo ou convexo, sem que haja necessariamente alguma simetria. Construímos quadrados sobre cada um de seus lados e marcamos o centro de cada um. Quando unimos os centros dos quadrados opostos, os segmentos que aparecem possuem o mesmo comprimento e são ortogonais. O resultado é um teorema elegante da geometria plana, justamente porque não exige nenhuma simetria do quadrilátero original.
1. Um pouco de história
O teorema leva o nome do matemático Henricus Hubertus van Aubel, nascido a 20 de novembro de 1830 em Maastricht, Países Baixos e falecido em 3 de fevereiro de 1906 em Antuérpia, Bélgica.
Em 1878 publicou seu estudo na revista belga de geometria Nouvelle Correspondance Mathématique, volume 4, páginas 40-44. Era a época áurea da geometria euclidiana elementar, quando círculos e pontos notáveis do triângulo eram catalogados em ritmo de colecionador.
Embora teoremas envolvendo quadrados construídos sobre os lados de polígonos já fossem populares no século XIX, o teorema é parente direto do teorema de Napoleão: construindo triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo qualquer, os centros formam um triângulo equilátero. Substituindo o triângulo qualquer por quadrilátero e os triângulos equiláteros por quadrados, o resultado deixa de ser “outro quadrado”, mas continua sendo surpreendente: obtêm-se dois segmentos iguais e perpendiculares.
Em uma abordagem contemporânea, os números complexos fornecem uma demonstração especialmente concisa. Essa técnica é explorada, por exemplo, por Tristan Needham em seu livro Visual Complex Analysis, no qual a interpretação geométrica das operações com números complexos desempenha papel central.
2. Enunciado do Teorema de Van Aubel
Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer e sejam $P, Q, R, S$ os centros dos quadrados construídos externamente sobre os lados $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$, respectivamente. Então:
$$ PR = QS \quad \text{e} \quad PR \perp QS \tag{1} $$Ou seja, o quadrilátero $PQRS$ tem diagonais iguais e perpendiculares.
3. Construção geométrica e interpretação visual
A construção pode ser realizada com régua e compasso ou em um programa de geometria dinâmica, como o GeoGebra.
- Desenhe um quadrilátero $ABCD$.
- Construa um quadrado externamente sobre cada um dos lados $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$.
- Determine os centros $P$, $Q$, $R$ e $S$ desses quadrados.
- Trace os segmentos $PR$ e $QS$, ligando os centros dos quadrados situados em lados opostos.
Ao observar a construção, verificamos que os dois segmentos se cruzam formando um ângulo reto e apresentam o mesmo comprimento.
O aspecto mais interessante do resultado é que ele não depende de o quadrilátero original ser regular, ter lados paralelos ou possuir algum eixo de simetria. A propriedade vale para qualquer quadrilátero, inclusive aqueles com quatro lados de medidas distintas.
Applet interativo: Arraste os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$. Os quadrados ficam sempre para fora do quadrilátero.
4. Demonstração utilizando números complexos
A demonstração por números complexos é particularmente didática e mostra como a álgebra pode simplificar uma configuração geométrica aparentemente complicada.
A ideia de demonstrar através do plano complexo é uma abordagem particularmente conveniente porque a multiplicação por $i$ representa uma rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário no plano complexo.
Vamos representar os vértices do quadrilátero $ABCD$ pelos números complexos $a$, $b$, $c$ e $d$, respectivamente. Isso é possível porque todo ponto do plano pode ser identificado com um número complexo $z=x+iy$, em que $x$ e $y$ são as coordenadas cartesianas do ponto e $i$ é a unidade imaginária, definida por:
$$ i^2 = -1 \tag{2} $$O objetivo agora é encontrar o centro de um quadrado construído sobre um dos lados do quadrilátero. Para isso, temos que localizar o ponto médio do lado e, a partir dele, deslocar-se perpendicularmente ao lado por uma distância igual à metade de seu comprimento.
Se os extremos do segmento são representados por $a$ e $b$, seu ponto médio é:
$$ m=\frac{a+b}{2} \tag{3} $$O vetor que segue de $a$ até $b$ é representado por $b-a$. Multiplicar esse vetor por $i$ equivale a girá-lo $90^\circ$ no sentido anti-horário, sem alterar seu comprimento. Assim, $i(b-a)$ é um vetor perpendicular ao lado $AB$ e de mesmo comprimento que ele. Como o centro do quadrado está a uma distância do lado igual à metade de $AB$, devemos usar apenas metade desse vetor:
$$ \frac{i(b-a)}{2} \tag{4} $$O centro do quadrado é o ponto médio do lado deslocado de metade do vetor que foi girado. Portanto, adotando uma das duas orientações possíveis (o quadrado construído para um lado ou para o outro de $AB$), o centro do quadrado sobre $AB$ é representado por:
$$ p=\frac{a+b}{2}+\frac{i(b-a)}{2} \tag{5} $$
Aplicando o mesmo raciocínio aos outros lados, obtemos as coordenadas complexas dos quatro centros:
$$ p=\frac{a+b+i(b-a)}{2} \tag{6} $$ $$ q=\frac{b+c+i(c-b)}{2} \tag{7} $$ $$ r=\frac{c+d+i(d-c)}{2} \tag{8} $$ $$ s=\frac{d+a+i(a-d)}{2} \tag{9} $$Essas expressões pressupõem uma orientação consistente para a construção dos quadrados. Escolher a orientação oposta em todos eles apenas altera o sinal dos termos que contêm $i$ e não modifica a conclusão do teorema.
O vetor que liga $P$ a $R$ é representado pelo número complexo $r-p$. Analogamente, o vetor que liga $Q$ e $S$ é representado por $s-q$.
Sejam $P$, $Q$, $R$ e $S$ os centros dos quadrados construídos sobre $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$. Queremos comparar as diagonais do quadrilátero $PQRS$, isto é, os segmentos $PR$ e $QS$. O vetor que liga $P$ a $R$ é representado por $r-p$ e o vetor que liga $Q$ a $S$ por $s-q$. Utilizando os resultados obtidos em $(6)$, $(7)$, $(8)$ e $(9)$, fazemos:
E:
Vamos chamar de $u=c-a$ e $v=d-b$ os vetores das diagonais do quadrilátero original. Manipulando o membro da direita dos termos das igualdades $(11)$ e $(13)$, substituímos $u$ e $v$:
$$ (c+d-a-b)+i(d-c-b+a)=\\[1em] (c-a)+(d-b) + i[(d-b)-(c-a)]= $$ $$ (u+v) + i(v-u) \tag{14} $$E
$$ (d+a-b-c) + i(a-d-c+b)=\\[1em] (d-b) - (c-a) + i[-(d-b)-(c-a)] $$ $$ (v-u) - i(v+u) \tag{15} $$Assim:
$$ r-p = \frac{(u+v)+i(v-u)}{2} \tag{16} $$E
$$ s-q = \frac{(v-u)-i(u+v)}{2} \tag{17} $$Colocando $u$ e $v$ em evidência em cada expressão, encontramos:
$$ r-p = \frac{(1-i)u+(1+i)v}{2} \tag{18} $$E
$$ s-q = -\left( \frac{(1+i)u - (1-i)v}{2} \right) \tag{19} $$Multiplicamos a expressão $(18)$ por $i$, obtemos:
$$ i(r-p) = \frac{i (1-i)u + i(1+i)v}{2} \\[1em] i(r-p) = \frac{(i-i^2)u + (i+i^2)v}{2} $$Como $i^2=-1$, temos:
$$ i(r-p) = \frac{(i+1)u + (i-1)v}{2} $$ $$ i(r-p) = \frac{(1+i)u - (1-i)v}{2} \tag{20} $$Comparando a $(20)$ com $(19)$, vemos que são iguais, apenas com o sinal trocado. Assim:
$$ i(r-p) = -(s-q) \tag{21} $$
Multiplicar um número complexo por $-i$ faz girar o vetor correspondente em $90^\circ$ no sentido horário, sem alterar seu comprimento. Assim, o vetor $\overrightarrow{QS}$ é o vetor $\overrightarrow{PR}$ girado $90^\circ$. Disso, temos duas conclusões:
- $QS=PR$, pois a rotação preserva o comprimento
- $QS \perp PR$, pois o ângulo entre os dois vetores é reto
Essa demonstração vale para qualquer quadrilátero $ABCD$, sem impor condição alguma sobre os comprimentos dos lados ou sobre ângulos.
5. Exemplo numérico
Para visualizarmos o Teorema de Van Aubel, vamos considerar o quadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(5,2)$ e $D(1,3)$.
Construímos os quadrados sobre os lados do quadrilátero $ABCD$ e determinamos seus centros $P$, $Q$, $R$ e $S$:
Vamos determinar as coordenadas dos centros dos quadrados para depois podermos calcular os comprimentos dos segmentos $PR$ e $QS$ e verificar a perpendicularidade entre eles.
5.1. Determinando o centro do quadrado sobre $AB$
Usamos a fórmula do ponto médio de um segmento:
$$ M_{AB} = \left( \frac{x_A+x_B}{2} \ , \ \frac{y_A + y_B}{2} \right) \\[1em] M_{AB} = \left( \frac{0+4}{2} \ , \ \frac{0+0}{2} \right) \\[1em] M_{AB} = (2 \ ,\ 0) $$Como $AB$ é horizontal e possui comprimento $4$, o centro do quadrado está a uma distância $2$ da reta que contém o lado. Assim:
$$ P = (2 \ ,\ -2) $$5.2. Determinando o centro do quadrado sobre $BC$
Usamos a fórmula do ponto médio de um segmento:
$$ M_{BC} = \left( \frac{x_B+x_C}{2} \ , \ \frac{y_B + y_C}{2} \right) \\[1em] M_{BC} = \left( \frac{4+5}{2} \ , \ \frac{0+2}{2} \right) \\[1em] M_{BC} = \left( \frac{9}{2}\ , \ 1 \right) $$Para encontrarmos o centro de $Q$ do quadrado sobre $BC$, precisamos determinar quanto e em qual direção devemos deslocar esse ponto.
O vetor $\overrightarrow{BC}$ indica o deslocamento que segue do ponto $B$ ao ponto $C$, e é determinado substituindo as coordenadas dos pontos $B$ e $C$:
$$ \overrightarrow{BC} = \big( x_C - x_B \ , \ y_C - y_B \big) \\[1em] \overrightarrow{BC} = (5-4 \ , \ 2-0) \\[1em] \overrightarrow{BC} = (1 \ , \ 2) $$Para calcular o comprimento do lado $BC$, usamos o Teorema de Pitágoras:
$$ BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C-y_B)^2} \\[1em] BC = \sqrt{(5-4)^2 + (2-0)^2} \\[1em] BC = \sqrt{1^2 + 2^2} \\[1em] BC = \sqrt{1+4} \\[1em] BC = \sqrt{5} $$Desta forma, o quadrado sobre o segmento $BC$ possui lado igual a $\sqrt{5}$.
A distância do ponto médio $M_{BC}$ até o centro $Q$ do quadrado é igual à metade do lado do quadrado:
$$ M_{BC}Q = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$O centro $Q$ do quadrado deve estar sobre a reta perpendicular a $BC$ e que passa sobre o ponto médio $M_{BC}$.
Já sabemos que $\overrightarrow{BC}=(1,2)$. Assim, precisamos encontrar um vetor perpendicular a $(x,y)$. Para isso, temos duas possibilidades:
- Rotação de $90^\circ$ no sentido horário: $(y,-x)$
- Rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário: $(-y,x)$
Aplicando no vetor $(1\ ,\ 2)$, obtemos:
$$ \overrightarrow{v_1} = (-2,1) \quad \text{e} \quad \overrightarrow{v_2} = (2,-1) $$Os dois vetores são perpendiculares a $BC$, pois seus produtos escalares com $(1\ ,\ 2)$ são nulos.
Para $\overrightarrow{v_1}$:
$$ (1\ ,\ 2) \cdot (-2\ ,\ 1) = -2 +2 = 0 $$Para $\overrightarrow{v_2}$:
$$ (1\ ,\ 2) \cdot (2\ ,\ -1) = 2 - 2 = 0 $$No entanto, precisamos escolher a direção do deslocamento que coloca o quadrado externamente ao quadrilátero.
Os vértices $A$, $B$, $C$ e $D$ estão ordenados no sentido anti-horário, de modo que, ao percorrermos o contorno do quadrilátero, os quadrados sobre os lados ficam sempre do lado direito.
Como estamos percorrendo de $B$ para $C$, devemos escolher o vetor perpendicular que aponta para a direita da direção de $\overrightarrow{BC}$:
$$ \overrightarrow{v} = (2\ ,\ -1) $$Esse vetor aponta para a direita e para baixo. Para conferir que o sentido está correto, podemos calcular o produto vetorial entre $\overrightarrow{BC}$ e $\overrightarrow{v}$:
$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1) - 2(2) = -1-4=-5 $$O resultado negativo indica uma rotação no sentido horário de $\overrightarrow{BC}$ para $\overrightarrow{v}$, que é a direção exterior desejada para esse quadrilátero.
No entanto, o vetor $\overrightarrow{v} = (2\ ,\ -1)$ tem o mesmo comprimento do lado $BC$, mas queremos deslocar o ponto médio $M_{BC}$ até o centro do quadrado:
$$ \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \left(\frac{2}{2}\ ,\ \frac{-1}{2} \right) $$Logo:
$$ \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \left( 1 \ ,\ \frac{-1}{2} \right) $$Esse é o vetor que segue do ponto médio $M_{BC}$ até o centro $Q$.
Desse modo, para encontrarmos as coordenadas do centro $Q$, utilizamos:
- O ponto médio: $M_{BC} = \left(\dfrac{9}{2}\ , \ 1\right)$
- O vetor de deslocamento: $\left(1 \ , -\dfrac{1}{2} \right)$
Para encontrar o centro, somamos as coordenadas do ponto médio às coordenadas do vetor de deslocamento. Se $M = (x_M \ ,\ y_M)$ e o vetor deslocamento é $(u\ ,\ v)$, então:
$$ Q = \big( x_M + u\ ,\ y_M + v \big) $$Substituindo os valores:
$$ Q = \left( \frac{9}{2} + 1 \ ,\ 1-\frac{1}{2} \right) \\[1em] Q = \left( \frac{11}{2}\ ,\ \frac{1}{2} \right) $$5.3. Determinando o centro do quadrado sobre $CD$
Para encontrar o ponto médio do segmento $CD$, usamos a fórmula:
$$ M_{CD} = \left( \frac{x_C+x_D}{2}\ ,\ \frac{y_C+y_D}{2} \right) \\[1em] M_{CD} = \left( \frac{5+1}{2} \ ,\ \frac{2+3}{2} \right) \\[1em] M_{CD} = \left( 3\ ,\ \frac{5}{2} \right) $$O vetor $\overrightarrow{CD}$ é dado por:
$$ \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C\ ,\ y_D - y_C ) \\[1em] \overrightarrow{CD} = (1 - 5 \ ,\ 3-2) \\[1em] \overrightarrow{CD} = (-4\ ,\ 1) $$Usando a rotação no sentido horário $(y\ ,\ -x)$, obtemos:
$$ \overrightarrow{v} = (1\ ,\ 4) $$A metade desse vetor é:
$$ \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \left(\frac{1}{2} \ ,\ 2 \right) $$Assim, as coordenadas do ponto $R$ são dadas por:
$$ R = \left( 3+\frac{1}{2}\ ,\ \frac{5}{2}+2 \right) \\[1em] R = \left( \frac{7}{2}\ ,\ \frac{9}{2} \right) $$5.4. Determinando o centro do quadrado sobre $DA$
Para encontrar o ponto médio do segmento $DA$, usamos a fórmula:
$$ M_{DA} = \left( \frac{x_D+x_A}{2}\ ,\ \frac{y_D+y_A}{2} \right) \\[1em] M_{DA} = \left( \frac{1+0}{2} \ ,\ \frac{3+0}{2} \right) \\[1em] M_{DA} = \left( \frac{1}{2} \ ,\ \frac{3}{2} \right) $$O vetor $\overrightarrow{DA}$ é dado por:
$$ \overrightarrow{DA} = (x_A - x_D\ ,\ y_A - y_D ) \\[1em] \overrightarrow{DA} = (0-1 \ ,\ 0-3) \\[1em] \overrightarrow{DA} = (-1\ ,\ -3) $$Usando a rotação no sentido horário $(y\ ,\ -x)$, obtemos:
$$ \overrightarrow{v} = (-3\ ,\ 1) $$A metade desse vetor é:
$$ \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \left( -\frac{3}{2} \ ,\ \frac{1}{2} \right) $$Assim, as coordenadas do ponto $S$ são dadas por:
$$ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\ ,\ \frac{3}{2}+\frac{1}{2} \right) \\[1em] S = \left( -1 \ ,\ 2 \right) $$5.5. Cálculo dos segmentos $PR$ e $QS$
Vamos calcular os comprimentos dos segmentos que unem os centros dos quadrados opostos.
Para o segmento $PR$, temos:
$$ PR = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 2\right)^2 + \left( \frac{9}{2}+2 \right)^2} \\[1em] PR = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{13}{2} \right)^2} \\[1em] PR = \sqrt{\left( \frac{9}{4}\right) + \left( \frac{169}{4} \right)} \\[1em] PR = \sqrt{\frac{178}{4}} \\[1em] PR = \frac{\sqrt{178}}{2} $$Para o segmento $QS$, temos:
$$ QS = \sqrt{\left( -1- \frac{11}{2}\right)^2 + \left( 2 - \frac{1}{2} \right)^2} \\[1em] QS = \sqrt{\left( \frac{-13}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2} \\[1em] QS = \sqrt{\left( \frac{169}{4}\right) + \left( \frac{9}{4} \right)} \\[1em] QS = \sqrt{\frac{178}{4}} \\[1em] QS = \frac{\sqrt{178}}{2} $$Podemos verificar a perpendicularidade calculando o produto escalar dos vetores $\overrightarrow{PR}$ e $\overrightarrow{QS}$.
Sejam:
$$ \overrightarrow{PR} = \left( \frac{3}{2}\ ,\ \frac{13}{2}\right) \quad \text{e} \quad \overrightarrow{QS} = \left( -\frac{13}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\right) $$Assim:
$$ \overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{QS} = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{13}{2} \right) + \frac{13}{2} \cdot \frac{3}{2} \\[1em] \overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{QS} = -\frac{39}{4} + \frac{39}{4} \\[1em] \overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{QS} = 0 $$Como o produto escalar é nulo, os segmentos são perpendiculares.
Referências:
- https://bibnum.publimath.fr/ALO/ALO12023.pdf
- https://www.ijpam.eu/contents/2011-66-1/7/7.pdf
- https://en.wikipedia.org/wiki/Van_Aubel%27s_theorem
- https://mathworld.wolfram.com/vanAubelsTheorem.html
- https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/26375451.2026.2652219
- https://repositorio.unb.br/bitstream/10482/35081/1/2018_BrenoRamiresVargasdaSilva.pdf
- https://books.google.com.br/books?id=10A0AQAAMAAJ&pg=PA40&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
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