10/02/2012

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer. Neste post, veremos como determinar a fórmula e provar o teorema.
o-teorema-de-stewart-historia-demonstracao-e-exercicio-resolvido

Um pouco de história

Matthew Stewart nasceu no ano de 1717 em Rothesay, na parte inferior do Firth of Clyde, na Escócia, numa pequena ilha chamada Ilha Bute.

Educado em Rothesay Grammar School, entrou na Universidade de Glasgow em 1734, onde estudou com o filósofo Francis Hutcheson e o matemático Robert Simson, com quem estudou a geometria antiga.

A amizade entre Stewart e Simson foi em parte pela admiração mútua de Pappus de Alexandria, resultando comunicações curiosas em relação ao De Locis Planis, de Apolônio de Perga e o Porisms de Euclides, por longos anos. Estas correspondências sugerem que Stewart passou várias semanas em Glasgow, iniciando em 1743 como auxiliar de Simson na produção de seu Apollonii Locorum Planorum Libri II, publicado em 1749.

Aproximadamente nesta mesma época, seu pai, o Reverendo Dugald Stewart, então Ministro de Rothesay, persuadiu Matthew Stewart a entrar para o ministério, sendo aceito pelo Presbitério de Dunoon em maio de 1744, tornando-se ministro em Roseneath, Dumbartonshire, um ano depois.

Porém, antes de iniciar sua carreira no ministério, Stewart participou de palestras de Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, durante as sessões de 1742 e 1743.

Com a morte de Maclaurin em 1746, sua cadeira ficou vaga e pouco mais tarde, Stewart deixou o ministério para tornar-se professor de matemática. A publicação de sua obra mais famosa: Some General Theoremes of Considerable Use in the Higher Parts os Mathematics, pode ter ajudado a garantir o posto.

Esse livro, estende algumas ideias de Simson e trás a conhecida Proposição II, que hoje é conhecida como o Teorema de Stewart, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo e o comprimento de uma ceviana dada.

Stewart também forneceu uma solução para o problema de Kepler, em 1756, usando métodos geométricos. Em 1761 descreveu o movimento dos planetas e a perturbação causada por um outro planeta. Em 1763 forneceu um suplemento sobre a distância entre o Sol e a Terra. Em 1772 sua saúde começou a deteriorar-se e faleceu em 23 de janeiro de 1785. Suas atividades como professor em Edimburgo foram assumidas por seu filho Dugald Stewart, que em breve tornara-se um proeminente filósofo escocês.

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer.

Recordando, ceviana é todo seguimento de reta que tem um das extremidades num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao vértice.

Teorema:

Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem $a$, $b$ e $c$. Seja $d$ uma ceviana e $D$ o ponto pertencente à reta suporte. O teorema de Stewart afirma que:
$$
a^2m + b^2n - d^2c = m n c
$$
Vamos fazer duas demonstrações deste teorema.

Demonstração 1:

Considere o triângulo abaixo:
demonstracao-do-teorema-de-stewart-utilizando-a-altura-do-triangulo-geometria-plana-o-baricentro-da-mente

Do triângulo $BCD$ temos que:
$$
a^2 = h^2 + (n-p)^2\\
\ \\
a^2 = h^2+n^2 - 2np + p^2\\
$$
O que nos leva a:
$$
h^2 = a^2 -n^2 +2np - p^2 \tag{1}
$$
E também:
$$
d^2 = h^2 + p^2
$$
$$
h^2 = d^2 - p^2 \tag{2}
$$
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos
$$
d^2 - p^2 = a^2 - n^2 +2np - p^2
$$
O que nos leva a:
$$
a^2 = d^2 +n^2 - 2np \tag{3}
$$
Do triângulo $ACD$, temos que:
$$
b^2 = h^2 + (m+p)^2\\
\ \\
b^2 = h^2 + m^2 + 2mp + p^2
$$
O que nos leva a:
$$
h^2 = b^2 - m^2 - 2mp - p^2 \tag{4}
$$
E também:
$$
d^2 = p^2 +h^2
$$
O que nos leva a:
$$
h^2 = d^2 -p^2 \tag{5}
$$
Substituindo $(5)$ em $(4)$, obtemos:
$$
d^2 - p^2 = b^2 - m^2 - 2mp - p^2
$$
O que nos leva a:
$$
b^2 = d^2 + m^2 + 2mp \tag{6}
$$
Podemos montar um sistema de equações utilizando as de lações $(3)$ e $(6)$:
\begin{cases}
a^2 & = & d^2 & + & n^2 & - & 2np\\
b^2 & = & d^2 & + & m^2 & + & 2mp\\
\end{cases}
Agora, multiplicamos a primeira equação por $m$ e a segunda por $n$, obtendo:
\begin{cases}
a^2m & = & d^2m & + & n^2m & - & 2mnp\\
b^2n & = & d^2n & + & m^2n & + & 2mnp\\
\end{cases}
Somando as duas equações termo a termo, obtemos:
$$
a^2m+b^2n = n^2m + m^2n + d^2m + d^2n
$$
O que nos leva a:
$$
a^2m + b^2n = m(m+n) + d^2(m+n) \tag{7}
$$
No entanto, temos:
$$
c = m+n \tag{8}
$$
Desta forma, substituindo $(8)$ em $(7)$, obtemos a demonstração do teorema de Stewart:
$$
a^2m+b^2n = mnc + d^2c
$$
O que nos leva a:
$$
a^2m+b^2n-d^2c = mnc \tag{9}
$$

Demonstração 2:

Considere o triângulo abaixo:
demonstracao-do-teorema-de-stewart-utilizando-a-lei-dos-cossenos-geometria-plana-o-baricentro-da-mente

Seja $\theta$ o ângulo formado pelos segmentos $m$ e $d$, e seja $\theta ^{\ \prime}$ o seu suplemento. Desta forma, temos que $\cos(\theta) = -\cos(\theta^{\ \prime})$. Pela lei dos cossenos, temos que:
\begin{cases}
b^2 & = & m^2 & + & d^2 & - & 2dm \cos(\theta)\\
a^2 & = & n^2 & + & d^2 & - & 2dn \cos(\theta^{\ \prime})
\end{cases}
\begin{cases}
b^2 & = & m^2 & + & d^2 & - & 2dm \cos(\theta)\\
a^2 & = & n^2 & + & d^2 & + & 2dn \cos(\theta)
\end{cases}
Multiplicando a primeira equação por $n$ e a segunda por $m$, podemos eliminar os termos que contém $\cos(\theta)$:
\begin{cases}
b^2n & = & m^2n & + & d^2n & - & 2dmn \cos(\theta)\\
a^2 m& = & n^2m & + & d^2m & + & 2dmn \cos(\theta)
\end{cases}
Somando as equações membro a membro, obtemos:
$$
a^2m + b^2n = n^2m + m^2n + d^2m + d^2n
$$
Encontrando:
$$
a^2m + b^2n = mn(m+n) + d^2(m+n) \tag{10}
$$
No entanto, $c = m+n$. Logo:
$$
a^2m + b^2n = d^2c + mnc
$$
O que nos leva a:
$$
a^2m + b^2n - d^2c = mnc
$$
Assim, conseguimos provar  o Teorema de Stewart de duas maneiras diferentes e elegantes.

Exemplo:

Vamos ver um exemplo clássico da aplicação do Teorema de Stewart: Sejam 3 circunferências tangentes duas a duas inscritas em uma quarta circunferências tangente às três primeiras. Calcular o raio $x$, conforme mostra a figura abaixo:
exemplo-de-aplicacao-do-teorema-de-stewart-geometria-plana-o-baricentro-da-mente

Do triângulo $ABC$, podemos construir as seguintes relações:
  • $AB = 3$
  • $AO = m = 1$
  • $BO = n = 2$
  • $BC = 1+x$
  • $AC = 2+x$
  • $OC = d = 3-x$

Aplicando o Teorema de Stewart:
$$
a^2m + b^2n - d^2c = mnc\\
\ \\
BC^2 + 2AC^2 - 3(3-x)^2 = 1 \cdot 2 \cdot 3\\
\ \\
(1+x)^2 + 2(2+x)^2 - 3(3-x)^2 = 6\\
\ \\
1+2x+x^2+8+8x+2x^2-27+18x-3x^2=6\\
\ \\
28x -18 = 6\\
\ \\
28x = 24\\
\ \\
x = \frac{6}{7}
$$
que é o raio procurado.

Referências:


Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: O Teorema de Stewart. Publicado por Kleber Kilhian em 10/02/2012. URL: . Leia os Termos de uso.


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19 comentários:

  1. Excelente post sobre a vida e o teorema de Stewart. O mais interessante foi usá-lo em um problema de tangência de circunferências. Parabéns e um grande abraço.

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  2. Obrigado Paulo. Como em muitas vezes constatado, existe muito pocuco material disponível em páginas brasileiras. Mal encontra-se a demonstração do teorema. Espero que ajude outros que buscarem informação desse matemático.

    Um forte abraço!

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  3. É a primeira vez que leio sobre este matemático e seu teorema! Fez um excelente trabalho de suprir esta lacuna de informação. Sem falar que a demonstração foi clara como cristal. ( Como sempre. )

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  4. Agradeço suas palavras Aloísio. É um teorema útil e pouco difundido. Eu também não conhecia, mas quando li sobre, quis saber um pouco mais sobre o matemático que o desenvolveu. Fiz algumas pesquisas e gastei um tempo sobre o material coletado, resultando este trabalho.

    Um abraço!

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  5. Boa tarde! Escolhi como tema de um trabalho meu, sendo aprovado darei seguimento ao mesmo! Obrigado por compartilhar o material que você conseguiu!

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  6. Olá amigo,

    É um bom tema a se trabalhar, já que não tem muito material disponível. Isso dará uma bom resultado. Sugiro procurar em sites estrangeiros. Boa sorte!

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  7. valeu cara me ajudou muito to estudando pro colégio naval e acho que vou visitar seu site com muita frequência

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  8. Olá amigo,

    Obrigado pela visita e comentário. Espero que outros artigos o ajudem também.

    Um abraço e volte sempre.

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  9. Muito útil seu artigo. Estou precisando de material para construir meu tcc e vc me ajudou mt com o teorema de stewart. Se tiver mais material sobre teorema de Simson, teorema dos olhos vesgos e teorema da meia corda, me ajudaria mais ainda. Desde ja agradeço.
    telma

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  10. Enviei uma mensagem pelo facebook para ser respondida até a noite desta quarta-feira - é sobre este tema e o favor encontra-se inevitável de pedir...

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    1. Diego, veja este pdf:

      http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/Vol-31-1/Using%20Stewart%27s%20Theorem%20%28Willie%20Yong%20and%20Jim%20Boyd%29.pdf

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    2. De fato, interessante...obrigado !

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  11. No exemplo, não compreendi por que OC = 3-x.

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    1. O raio da circunferência grande (onde as outras três estão inscritas) é 3. Então o comprimento do segmento d, é o raio da circunferencial grande (que é 3), menos o raio x.

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  12. Por que m = 1 ? Não entendi.
    Obrigado pela ajuda.

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    1. Luiz, como vai?

      Respondendo às suas duas perguntas:

      O raio da circunferência externa vale 3 porque é um dado do problema. Assim como $r_1=1$ e como $r_2=2$. O problema é calcular $r_3$.


      Veja que, se o raio da circunferência externa de centro $O$ vale 3. A circunferência de centro $A$ tem raio igual a $R_1=2$. Assim, $m = 3-2 = 1$

      Um abraço!

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  13. Por que o raio da circunferência grande é 3?

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  14. O ano em que Stewart começa a auxiliar Simson está errado. No texto está 1713, sendo que a data correta é 1743. A data colocada no texto por sí só não faz sentido, já que Stewart só nasceu em 1717, logo não teria como ele ajudar Simson em nenhum trabalho. Tirando isso o texto está bem estruturado e e não parece ter mais nenhum erro. Se for possível arrume o ano errado, pois esse site é um dos primeiros recomendados sobre o tema e isso pode acabar prejudicando alguns estudantes desatentos.

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    Respostas
    1. Obrigado por relatar esse deslize. Provavelmente foi durante a digitação. Farei a atualização do artigo. Um abraço!

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