O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer. Neste post, veremos como determinar a fórmula e provar o teorema.

Um pouco de história

Matthew Stewart nasceu no ano de 1717 em Rothesay, na parte inferior do Firth of Clyde, na Escócia, numa pequena ilha chamada Ilha Bute.

Educado em Rothesay Grammar School, entrou na Universidade de Glasgow em 1734, onde estudou com o filósofo Francis Hutcheson e o matemático Robert Simson, com quem estudou a geometria antiga.

A amizade entre Stewart e Simson foi em parte pela admiração mútua de Pappus de Alexandria, resultando comunicações curiosas em relação ao De Locis Planis, de Apolônio de Perga e o Porisms de Euclides, por longos anos. Estas correspondências sugerem que Stewart passou várias semanas em Glasgow, iniciando em 1743 como auxiliar de Simson na produção de seu Apollonii Locorum Planorum Libri II, publicado em 1749.

Aproximadamente nesta mesma época, seu pai, o Reverendo Dugald Stewart, então Ministro de Rothesay, persuadiu Matthew Stewart a entrar para o ministério, sendo aceito pelo Presbitério de Dunoon em maio de 1744, tornando-se ministro em Roseneath, Dumbartonshire, um ano depois.

Porém, antes de iniciar sua carreira no ministério, Stewart participou de palestras de Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, durante as sessões de 1742 e 1743.

Com a morte de Maclaurin em 1746, sua cadeira ficou vaga e pouco mais tarde, Stewart deixou o ministério para tornar-se professor de matemática. A publicação de sua obra mais famosa: Some General Theoremes of Considerable Use in the Higher Parts os Mathematics, pode ter ajudado a garantir o posto.

Esse livro, estende algumas ideias de Simson e trás a conhecida Proposição II, que hoje é conhecida como o Teorema de Stewart, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo e o comprimento de uma ceviana dada.

Stewart também forneceu uma solução para o problema de Kepler, em 1756, usando métodos geométricos. Em 1761 descreveu o movimento dos planetas e a perturbação causada por um outro planeta. Em 1763 forneceu um suplemento sobre a distância entre o Sol e a Terra. Em 1772 sua saúde começou a deteriorar-se e faleceu em 23 de janeiro de 1785. Suas atividades como professor em Edimburgo foram assumidas por seu filho Dugald Stewart, que em breve tornara-se um proeminente filósofo escocês.

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer.

Recordando, ceviana é todo seguimento de reta que tem um das extremidades num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao vértice.

Teorema:

Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem $a$, $b$ e $c$. Seja $d$ uma ceviana e $D$ o ponto pertencente à reta suporte. O teorema de Stewart afirma que:

$$
a^2m + b^2n - d^2c = m n c
$$

Vamos fazer duas demonstrações deste teorema.

Demonstração 1:

Considere o triângulo abaixo:

Do triângulo $BCD$ temos que:

$$
a^2 = h^2 + (n-p)^2\\
\ \\
a^2 = h^2+n^2 - 2np + p^2\\
$$

O que nos leva a:
$$
h^2 = a^2 -n^2 +2np - p^2 \tag{1}
$$

E também:

$$
d^2 = h^2 + p^2
$$
$$
h^2 = d^2 - p^2 \tag{2}
$$

Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos

$$
d^2 - p^2 = a^2 - n^2 +2np - p^2
$$

O que nos leva a:
$$
a^2 = d^2 +n^2 - 2np \tag{3}
$$

Do triângulo $ACD$, temos que:

$$
b^2 = h^2 + (m+p)^2\\
\ \\
b^2 = h^2 + m^2 + 2mp + p^2
$$

O que nos leva a:
$$
h^2 = b^2 - m^2 - 2mp - p^2 \tag{4}
$$

E também:

$$
d^2 = p^2 +h^2
$$

O que nos leva a:
$$
h^2 = d^2 -p^2 \tag{5}
$$

Substituindo $(5)$ em $(4)$, obtemos:

$$
d^2 - p^2 = b^2 - m^2 - 2mp - p^2
$$

O que nos leva a:
$$
b^2 = d^2 + m^2 + 2mp \tag{6}
$$

Podemos montar um sistema de equações utilizando as de lações $(3)$ e $(6)$:

\begin{cases}
a^2 & = & d^2 & + & n^2 & - & 2np\\
b^2 & = & d^2 & + & m^2 & + & 2mp\\
\end{cases}

Agora, multiplicamos a primeira equação por $m$ e a segunda por $n$, obtendo:

\begin{cases}
a^2m & = & d^2m & + & n^2m & - & 2mnp\\
b^2n & = & d^2n & + & m^2n & + & 2mnp\\
\end{cases}

Somando as duas equações termo a termo, obtemos:

$$
a^2m+b^2n = n^2m + m^2n + d^2m + d^2n
$$

O que nos leva a:
$$
a^2m + b^2n = m(m+n) + d^2(m+n) \tag{7}
$$

No entanto, temos:

$$
c = m+n \tag{8}
$$

Desta forma, substituindo $(8)$ em $(7)$, obtemos a demonstração do teorema de Stewart:

$$
a^2m+b^2n = mnc + d^2c
$$

O que nos leva a:
$$
a^2m+b^2n-d^2c = mnc \tag{9}
$$

Demonstração 2:

Considere o triângulo abaixo:

Seja $\theta$ o ângulo formado pelos segmentos $m$ e $d$, e seja $\theta ^{\ \prime}$ o seu suplemento. Desta forma, temos que $\cos(\theta) = -\cos(\theta^{\ \prime})$. Pela lei dos cossenos, temos que:

\begin{cases}
b^2 & = & m^2 & + & d^2 & - & 2dm \cos(\theta)\\
a^2 & = & n^2 & + & d^2 & - & 2dn \cos(\theta^{\ \prime})
\end{cases}
\begin{cases}
b^2 & = & m^2 & + & d^2 & - & 2dm \cos(\theta)\\
a^2 & = & n^2 & + & d^2 & + & 2dn \cos(\theta)
\end{cases}

Multiplicando a primeira equação por $n$ e a segunda por $m$, podemos eliminar os termos que contém $\cos(\theta)$:

\begin{cases}
b^2n & = & m^2n & + & d^2n & - & 2dmn \cos(\theta)\\
a^2 m& = & n^2m & + & d^2m & + & 2dmn \cos(\theta)
\end{cases}

Somando as equações membro a membro, obtemos:

$$
a^2m + b^2n = n^2m + m^2n + d^2m + d^2n
$$

Encontrando:

$$
a^2m + b^2n = mn(m+n) + d^2(m+n) \tag{10}
$$

No entanto, $c = m+n$. Logo:

$$
a^2m + b^2n = d^2c + mnc
$$

O que nos leva a:

$$
a^2m + b^2n - d^2c = mnc
$$

Assim, conseguimos provar  o Teorema de Stewart de duas maneiras diferentes e elegantes.

Exemplo:

Vamos ver um exemplo clássico da aplicação do Teorema de Stewart: Sejam 3 circunferências tangentes duas a duas inscritas em uma quarta circunferências tangente às três primeiras. Calcular o raio $x$, conforme mostra a figura abaixo:

Do triângulo $ABC$, podemos construir as seguintes relações:

• $AB = 3$
• $AO = m = 1$
• $BO = n = 2$
• $BC = 1+x$
• $AC = 2+x$
• $OC = d = 3-x$

Aplicando o Teorema de Stewart:

$$
a^2m + b^2n - d^2c = mnc\\
\ \\
BC^2 + 2AC^2 - 3(3-x)^2 = 1 \cdot 2 \cdot 3\\
\ \\
(1+x)^2 + 2(2+x)^2 - 3(3-x)^2 = 6\\
\ \\
1+2x+x^2+8+8x+2x^2-27+18x-3x^2=6\\
\ \\
28x -18 = 6\\
\ \\
28x = 24\\
\ \\
x = \frac{6}{7}
$$

que é o raio procurado.

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Dolce e Pompeo
• https://en.wikipedia.org/wiki/Stewart%27s_theorem
• https://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Stewart_%28mathematician%29

Links para este artigo:

• https://bit.ly/teorema-de-stewart
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2012/02/o-teorema-de-stewart.html
  

Veja mais:

• O teorema de Faure
  
• O teorema de Stevin
  
• O teorema da base média de um triângulo
  
• O teorema de Pitágoras segundo Euclides