O Problema dos Quadrados Mágicos

O problema da construção de Quadrados Mágicos é conhecida desde a antiguidade. Trata-se de construir uma tabela quadrada e preenche-la com números naturais sequenciados, de modo que as somas de suas linhas, colunas e diagonais principais sejam constantes. Desse modo, um quadrado de ordem n, são inseridos os n² primeiros números naturais, sendo a somas desses números:

A solução a ser encontrada em cada fileira, a Soma Mágica, será dada por:

É possível a construção de Quadrados Mágicos para qualquer n, exceto n = 2. Para n = 3 admite-se somente uma solução (desprezando inversões e rotações). Para n = 4 admite-se 880 possibilidades. E esse número cresce rapidamente nas ordens seguintes.

A ciência dos Quadrados Mágicos evoluiu de estudos nos séculos IX e X até a época de ouro do século XII, quando ela atingiu seu apogeu no Islã.

Abul Wafa Al-Buzjani (século X) desenvolveu dois métodos para construção de Quadrados Mágicos de ordem 5.

Primeiro método

Dispomos os n² primeiros números naturais, para n = 5. Então a soma dos números 1+2+3+…+25 = 325 e a solução a ser encontrada será:

Mantemos os números das diagonais principais fixos, mostrados em vermelho na figura a:

Trocamos os números do quadrado interior de ordem 3, contornado em verde, com os da casa distante de duas casas na diagonal, como mostra a figura b. As flechas em vermelho mostram os números a serem trocados:

Trocamos, finalmente, os números das extremidades que ainda não foram trocados com aqueles da fileira oposta, conservando sua ordem de sucessão. As flechas em violeta mostram os números a serem trocados, como mostra a figura c:

Desse modo, a soma de cada linha, coluna e diagonais será igual a 65.

Segundo método:

Dispomos os n² primeiros números naturais, para n = 5. Mantemos os números das diagonais principais fixos, mostrados em vermelho na figura a:

Invertemos os pares de números aproximando a diagonal descendente. As setas em laranja mostram os números a serem trocados, como mostra a figura d:

Trocamos os números restantes das bordas com as laterais opostas. As flechas em azul mostram os números a serem trocados, como mostra a figura e:

Desse modo, a soma de cada linha, coluna e diagonais será igual a 65. E o resultado obtido é diferente do encontrado na figura c pelo primeiro método.

Referências

[1] Scientific American – Ed. Especial nº 11 - Etnomatemática

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Veja mais:

Quadrados Mágicos de Ordem Ímpar (Parte 1) no blog Matemágicas e Números
Quadrados Mágicos de Ordem Ímpar (Parte 2) no blog Matemágicas e Números
O Quadrado Mágico da Besta no blog Fatos Matemáticos

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