Demonstração da Fórmula da Área da Esfera

Uma construção dos elementos de área que simplifica as operações com Integral única em coordenadas polares.

A demonstração da fórmula de cálculo da área de uma superfície esférica é algo que sempre instiga os estudantes e é comum encontrar, na rede, perguntas de internautas sobre tal demonstração. Relutando em olhar as demonstrações existentes, tentei algumas vezes chegar a alguma e não consegui. Recentemente, ao descascar uma laranja, retomei o desafio (de fazer sem olhar) construindo o elemento diferencial de área como na Figura 1; aí foi fácil, após a transformação para coordenadas polares, eliminando as retangulares. Porém, ao procurar pela demonstração, para comparar, fiquei surpreso: em LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. 3 ed. Harbra, v.2, na página 59 (integração múltipla em coordenadas esféricas), onde esperava encontrar, não tem; o mesmo em James Stewart – Cálculo. v.2. Na rede, o que encontrei, além de muitas perguntas sobre assunto, foi a derivação do volume. Se já não tivesse feito, iria pensar: humm! A coisa deve ser feia e cabeluda! Além disso, alguns colegas relataram não ter visto, ainda, tal construção do elemento de área. Isso tudo, então, me motivou a apresentar o que segue.

Acredito que outras pessoas já devam ter desenvolvido a mesma demonstração, no entanto, parece difícil de ser encontrada publicada em algum meio. A construção do elemento diferencial de área pode ser considerada análoga à construção que se faz em coordenadas esféricas, ao eliminar a integração em teta (θ) (não sendo necessário integrar para obter a área de cada anel, uma vez que a largura de cada anel é constante) e integrar apenas em fi (φ). Ou seja, a demonstração apresentada a seguir corresponde a se trabalhar com o ângulo complementar a fi (φ).

Elemento diferencial de Área (dA)

Descascando uma laranja em anéis (e não helicoidais), fora do equador, as bordas de cada anel serão circunferências com raios distintos, uma maior que a outra:

[Figura 1: Laranja descascada em anéis]

A largura do anel pode ser descrita pela forma simplificada do comprimento de arco:

onde l é a largura do anel, r é o raio da circunferência e dθ é a variação infinitesimal do ângulo central.

[Figura 2: Esquema]

Mas, se estes anéis tiverem larguras infinitesimais, os raios se confundem e o perímetro do anel de largura infinitesimal é dado por:

Vejam que o perímetro C está em função do raio x. Fazendo uma transformação para coordenadas polares, destacamos na figura 3 o triângulo retângulo da figura 2:

[Figura 3: Triângulo retângulo]

Temos que:

Substituindo a equação ( II ) em ( I ), obtemos:

Vejam que agora o perímetro C está em função do ângulo central θ. Então, a área da superfície do anel de largura infinitesimal será dada pelo produto de seu perímetro C por sua altura l:

Com 0 < θ < π/2

Como o ângulo θ varia de 0 a π/2, obtemos anéis da esfera somente na parte superior ao eixo dos x, e, conseqüentemente, somente a metade da área de sua superfície. Para encontrar a área total, basta multiplicar por 2. Aplicamos, então, a integral definida:

Vejam que o cálculo poderia ter terminado na segunda linha!

A separação didática que os autores normalmente fazem entre os diversos sistemas de coordenadas, com os respectivos exercícios pertinentes a cada um sendo propostos de modo bem “separadinho” pode inibir que o leitor imagine o que foi apresentado acima. Ou seja, tratando, nos tópicos relacionados a coordenadas polares, quase que somente de figuras planas (de espirais a lemniscatas) e, no caso de coordenadas esféricas, com os três parâmetros – mais complicados e com integração em duas e três dimensões – alguns leitores podem ser levados a pensar que a construção do elemento de área só possa ser possível com os recursos de coordenadas esféricas ou retangulares em três dimensões.

Ao ver a resposta que um internauta recebeu (“...derivando o volume ... chagamos assim à fórmula da área. Cqd.”) cheguei a imaginar: a coisa deve ser feia, estão derivando o volume!

E então, como fica o volume? Bom, essa já tem pra todo lado.

O que mais me incomodava era o fato de conseguir fazer a demonstração da fórmula do volume (em “x” e “y”, empregando discos) enquanto a área, essa não saía!

É claro que sabendo a fórmula da área, para fazer o volume, basta partir da 3ª ou 4ª linhas abaixo. Mas é preciso saber como chegar nela!

Para o volume, veja que a integral interna já está pronta acima. Ou seja, poderíamos começar na 3ª linha. Creio que todos sejam capazes de imaginar o que representa o termo A(r)dr.

Vejam outra demonstração do Volume de esfera aqui.

Os referidos autores, nas obras citadas acima, destacam a importância de se optar por um sistema de coordenadas apropriado, numa integralização desse tipo. Experimente fazer isso em coordenadas retangulares e vai ver que a coisa, realmente, fica feia.

Na verdade, os autores consideram tão evidente e fácil a demonstração que nem, se quer, chegam a propor tal exercício em suas obras! Certamente, com medo de ofender o leitor. Os problemas lá propostos são, sim, muito mais complexos.

Esta demonstração foi elaborada por um amigo:

Engº. Agrônomo Leandro Salles Nogueira
Colégio Cenecista Walter Francklin – Três Rios, RJ
C.E. Dr. Valmir Peçanha – Três Rios, RJ
Ex-monitor de Cálculo I e II – Departamento de Matemática da UFV
lsnogueira82@hotmail.com

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Veja mais:

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Uma Demonstração Para a Área do Pentágono Regular

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