Expansão em Série de Taylor

Seja e exista em [a, b] com , onde Cⁿ é o conjunto de funções n vezes deriváveis e até a n-ésima derivada contínua, então, existe um número com com , onde:

e

P_n é o Polinômio de Taylor de grau n centrado em x₀.

R_n é o resto ou erro de truncamento.

Vamos determinar o Polinômio de Taylor de grau 2 para a função:

Temos que:

Como x₀ = 0, temos que:

Então sua derivada será:

E para a derivada segunda temos:

Aplicando os valores encontrados no Polinômio de grau 2 de Taylor, obtemos:

Graficamente temos:

[Figura 1 – Clique na imagem para aumentar]

Vejam que P₂(x) está centrado em x₀ = 0 e aproxima a função f (x) = cos(x) com uma parábola – x² / 2 e corta o eixo dos y em 1.

Aproveitando este exemplo, vamos obter um valor aproximado para cos(0,01) utilizando P₃(x).

Vamos primeiramente determinar a derivada de ordem 3 de F (x). Se:

Então:

Então:

Pela calculadora, temos que cos (0,01)=0,9999500004. A diferença entre o valor real e o valor aproximado pelo Polinômio de Taylor é muito pequeno:

O resto ou erro R₃ é:

Logo:

Achou absurdo esse desenvolvimento para o século XVIII ?

---

Veja mais:

A Série de Maclaurin e o Binômio de Newton
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
Newton e a Série Infinita para PI
Soma de Séries Através da Transformada de Laplace no blog Fatos Matemáticos.

---