24/03/2010

Polinômio Interpolador de Lagrange


Sejam $x_0, x_1, \cdots , x_n, (n+1)$ pontos distintos e $y_1=f(x_i)$ sendo $i=0,1,\cdots, n$.

Seja $P_n(x)$ o polinômio de grau $\leq n$ que interpola $f$ em $x_0, x_1, \cdots , x_n$. Podemos representar o polinômio $P_n(x)$ como:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + \cdots + y_nL_n(x)
\end{equation*}
onde os polinômios $L_k(x)$ são de grau $n$.

Para cada $i$ queremos que a condição $P_n(x_i)=y_i$ seja satisfeita:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0L_0(x_i) + y_1L_1(x_i) + \cdots + y_nL_n(x_i) = y_i
\end{equation*}
Para que essa condição seja satisfeita é necessário impor que:
\begin{equation*}
L_k(x_i)=\left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & k & = & i\\
0 & \text{se} & k & \neq & i
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Podemos, assim, definir $L_k(x)$ como:
\begin{equation*}
L_k(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_n)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrange de grau $1$

O polinômio de Lagrange de grau $1$ é dado por:
\begin{equation*}
P_1(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
L_0(x) = \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} \\
\ \\
\ \\
L_1(x) = \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
y_0 \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} +y_1  \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrange de grau $2$

O polinômio de Lagrange de grau $2$ é dado por:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + y_2L_2(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
L_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)}\\
\ \\
\ \\
L_1(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\
\ \\
\ \\
L_2(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\\
\end{equation*}

Polinômio de Lagrande de grau $3$

O polinômio de Lagrange de grau $3$ é dado por:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_1-x_2)(x_0-x_3)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + y_3\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
\end{equation*}

Polinômio de Lagrande de grau $n$

O polinômio de Lagrande de grau $n$ é dado por:
\begin{equation*}
P_n(x) = y_0\frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n (x-x_i)}{\displaystyle \prod _{i=1}^n(x_0-x_i)} + y_1 \frac{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\i\neq 1}}^n (x-x_i)}{\displaystyle \prod _{\substack{i=0 \\i \neq 1}}^n(x_1-x_i)}+\cdots +y_n \frac{\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(x-x_i)}{\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1}(x_n-x_i)}
\end{equation*}
Que pode ser sintetizado como:
\begin{equation*}
P_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \ y_j \ \frac{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^n (x_1-x_i)}{\displaystyle \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^n (x_j-x_i)}
\end{equation*}

Exemplo teórico

Encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que interpole $[x_0, f(x_0)], [x_1, f(x_1)]$.

Termos que $n=1$. Então podemos dizer que será uma interpolação linear. Pela forma de Lagrange, podemos utiliar o polinoômio interpolador de grau $1$:
\begin{equation*}
P_1(x) = y_0 L_0(x) + y_1L_1(x)\\
\ \\
P_1(x) = y_0 \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} + y_1 \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} \\
\ \\
P_1(x) = y_0 \frac{(x_1-x)}{(x_1-x_0)} + y_1 \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}\\
\ \\
P_1(x) = \frac{y_0(x_1-x)+y_1(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
\end{equation*}
Que é exatamente a equação da reta que passa pelos pontos $[x_0, f(x_0)], [x_1, f(x_1)]$.

Exemplo numérico

Considere a tabela abaixo. Encontre o polinômio interpolador pela forma de Lagrange e calcule $f(x)$ no ponto $x=1$.

Pela forma de Lagrange, temos que:
\begin{equation*}
P_2(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + y_2L_2(x)\\
\ \\
P_2(x) = y_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1  \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
\end{equation*}
Substituindo os valores da tabela, obtemos:
\begin{equation*}
P_2(x) = 4 \frac{(x-0)(x-2)}{(-1-0)(-1-2)} + 1  \frac{(x+1)(x-2)}{(0+1)(0-2)} -1 \frac{(x+1)(x-0)}{(2+1)(2-0)}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4(x^2-2x)}{3} +\frac{(x^2-x-2)}{(-2)}-\frac{(x^2+x)}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4-8x}{3} + \frac{x+2-x^2}{2} - \frac{x^2+x}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{8x^2 - 16x + 3x+6-3x^2-x^2-x}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{4x^2-14x+6}{6}\\
\ \\
P_2(x) = \frac{2x^2}{3} - \frac{7x}{3} +1
\end{equation*}
Para calcularmos $f(x)$ no ponto $x=1$, fazemos:
\begin{equation*}
P_2(x) = \frac{4x^2-14x+6}{6}\\
\ \\
P_2(1) = \frac{4\cdot 1^2-14\cdot 1+6}{6}\\
\ \\
P_2(1)=\frac{4-14+6}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}
\end{equation*}

Referências

[1] Notas de aula

Veja mais:

Interpolação Polinomial - Resolução por Sistemas Lineares
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson
Interpolação Polinomial no Blog Fatos Matemáticos: Partes 1, 2 e 3



Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Compartilhe esse artigo:



Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

12 comentários:

  1. Kleber, agora que eu li a sua dúvida. Tem como sim, escrever na forma que você quer, basta usar o comando displaystyle. Pode usá-lo também em somatórios e limites.

    Vejamos um exemplo:

    [;\frac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}(x - x_k)}}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}(x_0 - x_k)}};]

    ResponderExcluir
  2. Obrigado novamente pela citação. Abraços!

    ResponderExcluir
  3. . e se da medo desta conta toda

    ResponderExcluir
  4. Nessas horas é que digo: "VIVA A COMPUTAÇÃO !"
    Fazer um treco desses "no braço" não é nada agradavel kkkkkk

    ResponderExcluir
  5. É verdade amigo, imagine só na época dele!
    Obrigado e um abraço!

    ResponderExcluir
  6. Caro professor Kleber, estimaria se o senhor colocasse um pouco de transformadas de Laplace no molho, com exemplos práticos voltados para a engenharia de estruturas, ou na passagem de estados da matemática, num exemplo mais próximo trabalhando com complexos.
    Cordialmente.
    Jurandyr.

    ResponderExcluir
  7. Me ajudou bastante, valeu!!! Na verdade me salvou!!! Fica na paz aí!!! Abraço!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Que bom que lhe foi útil. Abraços e bom estudo!

      Excluir
  8. Muito legal, parabéns =)

    Vai me ajudar na minha avaliação de Calculo numérico o/

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog