Regra dos Trapézios Repetida

Integração Numérica

Sabemos do Cálculo Integral que, se f (x) é uma função contínua num intervalo [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F (x) tal que:

Assim:

No entanto, pode não ser tão fácil expressar esta função primitiva por meio de combinações finitas de funções elementares. Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f (x) num interval [a,b] é através de métodos numéricos.

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a,b].

Regra dos Trapézios

Já vimos que com o Polinômio de Lagrange podemos aproximar funções [Veja o post sobre o Polinômio Interpolador de Lagrange aqui]. Podemos a partir deste conceito, desenvolver um raciocínio para encontrarmos um polinômio tal que aproxime-se à integral de f (x).

Dado o gráfico:

 [Figura 1]

A área sombreada corresponde à integral definida:

[Figura 2]

O Polinômio de Lagrange que interpola (a, f (a)),(b, f (b)) é o de grau 1:

Então, podemos dizer que:

A equação (1) equivale à fórmula da área do trapézio definida na figura 1. Então, podemos dizer que:

Assim, podemos definir:

Exemplo 1: Utilizando a regra dos trapézios obtenha um valor aproximado para a função:

Se calcularmos esta integral pelos métodos convencionais encontraremos:

Que é o valor exato para a integral.

Vemos que houve uma diferença entre os valores encontrados. Esse erro pode ser facilmente observado graficamente:

[Figura 3]

Ao unirmos os pontos (a, f (a)), (b,f (b)) com uma reta, formamos uma trapézio. A área sombreada na figura foi calculada pelo método do trapézio, gerando um erro que não acontece quando a integral é calculada pelos métodos convencionais.

Para suprir esta necessidade de ter uma ótima aproximação, foi desenvolvida uma variação do método do trapézio, onde a altura do trapézio h (que é o intervalo de integração) é subdividida em partes menores.

 

Regra dos Trapézios Repetida

Como pudemos ver, tanto graficamente quanto pelo erro calculado, se o intervalo de integração é grande, o erro tende a aumentar e a fórmula dos trapézios nos fornece resultados imprecisos, com baixa aproximação. Se subdividirmos o intervalo de integração e aplicarmos a regra dos trapézios em cada subintervalo, conseguiremos uma aproximação melhor. E, quanto menor for este subintervalo, melhor será o resultado. Em contrapartida, quanto maior for a divisão do intervalo de integração, maior serão os cálculos envolvidos.

Temos:

Figura 4

Exemplo 2: Utilizando a regra dos Trapézios Repetida, vamos aproximar a função:

Neste caso, o intervalo h é dado por 1 – 0 = 1

Vamos subdividi-lo em 6 partes:

Então teremos:

Calculando a função nos pontos x_i , obtemos:

Logo:

Podemos notar que o valor encontrado pela regra dos trapézios repetida é bem mais próximo do real.

Referências:

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula

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Veja mais:

O Cálculo Integral
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Zeros Reais de Funções Reais – O Método de Newton-Raphson Resolvido no Excel

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