24/03/2010

Polinômio Interpolador de Lagrange


Sejam x0,x1,,xn,(n+1) pontos distintos e y1=f(xi) sendo i=0,1,,n.

Seja Pn(x) o polinômio de grau n que interpola f em x0,x1,,xn. Podemos representar o polinômio Pn(x) como:
Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)++ynLn(x)

onde os polinômios Lk(x) são de grau n.

Para cada i queremos que a condição Pn(xi)=yi seja satisfeita:
Pn(x)=y0L0(xi)+y1L1(xi)++ynLn(xi)=yi

Para que essa condição seja satisfeita é necessário impor que:
Lk(xi)={1sek=i0seki

Podemos, assim, definir Lk(x) como:
Lk(x)=(xx0)(xx1)(xxk1)(xxk+1)(xxn)(xkx0)(xkx1)(xkxk1)(xkxk+1)(xkxn)


Polinômio de Lagrange de grau 1

O polinômio de Lagrange de grau 1 é dado por:
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x)

onde:
L0(x)=(xx1)(x0x1)  L1(x)=(xx0)(x1x0)

Logo:
y0(xx1)(x0x1)+y1(xx0)(x1x0)


Polinômio de Lagrange de grau 2

O polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por:
P2(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)

onde:
L0(x)=(xx1)(xx2)(x0x1)(x1x2)  L1(x)=(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)  L2(x)=(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)

Logo:
P2(x)=y0(xx1)(xx2)(x0x1)(x0x2)+y1(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)+y2(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)


Polinômio de Lagrande de grau 3

O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por:
P2(x)=y0(xx1)(xx2)(xx3)(x0x1)(x1x2)(x0x3)+y1(xx0)(xx2)(xx3)(x1x0)(x1x2)(x1x3)+y2(xx0)(xx1)(xx3)(x2x0)(x2x1)(x2x3)+y3(xx0)(xx1)(xx2)(x3x0)(x3x1)(x3x2)


Polinômio de Lagrande de grau n

O polinômio de Lagrande de grau n é dado por:
Pn(x)=y0ni=1(xxi)ni=1(x0xi)+y1ni=0i1(xxi)ni=0i1(x1xi)++ynn1i=0(xxi)n1i=0(xnxi)

Que pode ser sintetizado como:
Pn(x)=nj=0 yj ni=0ij(x1xi)ni=0ij(xjxi)


Exemplo teórico

Encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que interpole [x0,f(x0)],[x1,f(x1)].

Termos que n=1. Então podemos dizer que será uma interpolação linear. Pela forma de Lagrange, podemos utiliar o polinoômio interpolador de grau 1:
P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x) P1(x)=y0(xx1)(x0x1)+y1(xx0)(x1x0) P1(x)=y0(x1x)(x1x0)+y1(xx0)(x1x0) P1(x)=y0(x1x)+y1(xx0)(x1x0)

Que é exatamente a equação da reta que passa pelos pontos [x0,f(x0)],[x1,f(x1)].

Exemplo numérico

Considere a tabela abaixo. Encontre o polinômio interpolador pela forma de Lagrange e calcule f(x) no ponto x=1.

Pela forma de Lagrange, temos que:
P2(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x) P2(x)=y0(xx1)(xx2)(x0x1)(x0x2)+y1(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)+y2(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)

Substituindo os valores da tabela, obtemos:
P2(x)=4(x0)(x2)(10)(12)+1(x+1)(x2)(0+1)(02)1(x+1)(x0)(2+1)(20) P2(x)=4(x22x)3+(x2x2)(2)(x2+x)6 P2(x)=48x3+x+2x22x2+x6 P2(x)=8x216x+3x+63x2x2x6 P2(x)=4x214x+66 P2(x)=2x237x3+1

Para calcularmos f(x) no ponto x=1, fazemos:
P2(x)=4x214x+66 P2(1)=412141+66 P2(1)=414+66=46=23


Referências

[1] Notas de aula

Veja mais:

Interpolação Polinomial - Resolução por Sistemas Lineares
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson
Interpolação Polinomial no Blog Fatos Matemáticos: Partes 1, 2 e 3



COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Polinômio Interpolador de Lagrange. Publicado por Kleber Kilhian em 24/03/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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13 comentários:

  1. Kleber, agora que eu li a sua dúvida. Tem como sim, escrever na forma que você quer, basta usar o comando displaystyle. Pode usá-lo também em somatórios e limites.

    Vejamos um exemplo:

    [;\frac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}(x - x_k)}}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}(x_0 - x_k)}};]

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  2. Obrigado novamente pela citação. Abraços!

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  3. . e se da medo desta conta toda

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  4. Anônimo2/3/11 09:44

    Nessas horas é que digo: "VIVA A COMPUTAÇÃO !"
    Fazer um treco desses "no braço" não é nada agradavel kkkkkk

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  5. É verdade amigo, imagine só na época dele!
    Obrigado e um abraço!

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  6. Caro professor Kleber, estimaria se o senhor colocasse um pouco de transformadas de Laplace no molho, com exemplos práticos voltados para a engenharia de estruturas, ou na passagem de estados da matemática, num exemplo mais próximo trabalhando com complexos.
    Cordialmente.
    Jurandyr.

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  7. Me ajudou bastante, valeu!!! Na verdade me salvou!!! Fica na paz aí!!! Abraço!!

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    1. Que bom que lhe foi útil. Abraços e bom estudo!

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  8. Muito legal, parabéns =)

    Vai me ajudar na minha avaliação de Calculo numérico o/

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  9. olá, há um equívoco no P2(x)=y0(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x0−x1)(x1−x2)(x0−x3) no denominador é tudo x0 os 1º termos.

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