Potência de Potência

Os Três Dois

Certamente todos nós sabemos como escrever três algarismos de modo que o número por ele formado seja o maior possível. Vamos, inicialmente, tomar como exemplo, três números $9$. Vamos colocá-los assim:

$${9^9}^9$$

Quer dizer, escrevê-lo em forma de potência de uma potência. Este número é tão grande que é impossível encontrar como o que compará-lo. O número de elétrons que formam todo o universo visível é insignificante diante dele.

Vejamos, agora, a forma de alcançar o mais alto número, por meio de três números $2$  sem empregar nenhum sinal.

O exemplo anterior nos induzirá, sem dúvida, a colocar os $2$ do mesmo modo:

$${2^2}^2$$

No entanto, neste caso não conseguimos o efeito desejado. O resultado é menos do que $222$  Com efeito, o que escrevemos foi apenas $2^4 = 16$  Mas o maior número que se pode formar com três números $2$ não é $222$, nem $22^2 = 484$, mas sim: $2^{22} = 4.194.304$.

O exemplo é muito instrutivo, ensinando que em Matemática é perigoso servir-se de analogias: estas podem nos levar facilmente a conclusões errôneas.

Os Três Três

Depois disso, talvez procedamos com maior precaução ao resolvermos o problema de escrever três números $3$, de modo que formem o maior número, sem empregar sinais.

A potência de potência não representa aqui a melhor solução, porque ${3^3}^3$, isto é, $3^{27}$ é menor que $3^{33}$.

A última disposição dos $3$ é a que responde ao nosso problema.

Os Três Quatro

Para escrevermos três números $4$ de modo que formem um número máximo, sem empregar sinais, podemos fazer como nos exemplos anteriores, fazendo $4^{44}$, não obteremos a solução mais favorável, pois, neste caso, a potência de potência ${4^4}^4$ fornece o maior valor possível, já que $4^4 = 256$ e $4^{256}$ é maior que $4^{44}$.

Com Três Algarismos Iguais

Vamos nos aprofundar mais neste intrigante fenômeno numérico e esclarecer por que, quando com os três algarismos se forma uma potência de potência, umas vezes obtemos números máximos e outras vezes não.

Examinando o caso geral, podemos representar o algarismo com a letra $a$. Aos números $2^{22}$, $3^{33}$ e $4^{44}$ corresponde a expressão geral:

$$a^{10a+a}=a^{11a}$$

A potência de potência terá por expressão geral:

$$a^{a^a}$$
Vamos determinar qual deve ser o valor de $a$ para que a última expressão seja de grandeza maior que a primeira. Já que ambas as potências têm a mesma base inteira, quando tiverem expoentes maiores corresponderão valores mais altos das respectivas potências.

Então, em que caso $a^a > 11a$?

Se dividirmos ambos membros da desigualdade por $a$, teremos:

$$a^{a-1}>11$$

é fácil determinar que a expressão acima se verifica somente no caso em que $a$ é maior que $3$, pois: $4^{4-1}>11$, enquanto as potências $3^2$ e $2^1$ são menores que $11$.

Ficam, portanto, explicadas as surpresas com que topamos ao resolver os problemas precedentes. Para os $2$ e os $3$, tínhamos de servir-nos de potências com expoentes de dois algarismos, enquanto para os $4$ e algarismos de maior valor é preciso empregar-se a potência de potência.

Referências:

[1] Baseado no texto Aprenda Álgebra Brincando, de I. Perelmann, Ed. Humus

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