Certamente todos nós sabemos como escrever três algarismos de modo que o número por ele formado seja o maior possível. Vamos, inicialmente, tomar como exemplo, três números 9. Vamos colocá-los assim:
999
Quer dizer, escrevê-lo em forma de potência de uma potência. Este número é tão grande que é impossível encontrar como o que compará-lo. O número de elétrons que formam todo o universo visível é insignificante diante dele.
Vejamos, agora, a forma de alcançar o mais alto número, por meio de três números 2 sem empregar nenhum sinal.
O exemplo anterior nos induzirá, sem dúvida, a colocar os 2 do mesmo modo:
No entanto, neste caso não conseguimos o efeito desejado. O resultado é menos do que 222 Com efeito, o que escrevemos foi apenas 24=16 Mas o maior número que se pode formar com três números 2 não é 222, nem 222=484, mas sim: 222=4.194.304.
O exemplo é muito instrutivo, ensinando que em Matemática é perigoso servir-se de analogias: estas podem nos levar facilmente a conclusões errôneas.
Os Três Três
Depois disso, talvez procedamos com maior precaução ao resolvermos o problema de escrever três números 3, de modo que formem o maior número, sem empregar sinais.
A potência de potência não representa aqui a melhor solução, porque 333, isto é, 327 é menor que 333.
A última disposição dos 3 é a que responde ao nosso problema.
Os Três Quatro
Para escrevermos três números 4 de modo que formem um número máximo, sem empregar sinais, podemos fazer como nos exemplos anteriores, fazendo 444, não obteremos a solução mais favorável, pois, neste caso, a potência de potência 444 fornece o maior valor possível, já que 44=256 e 4256 é maior que 444.
Com Três Algarismos Iguais
Vamos nos aprofundar mais neste intrigante fenômeno numérico e esclarecer por que, quando com os três algarismos se forma uma potência de potência, umas vezes obtemos números máximos e outras vezes não.
Examinando o caso geral, podemos representar o algarismo com a letra a. Aos números 222, 333 e 444 corresponde a expressão geral:
a10a+a=a11a
A potência de potência terá por expressão geral:
Vamos determinar qual deve ser o valor de a para que a última expressão seja de grandeza maior que a primeira. Já que ambas as potências têm a mesma base inteira, quando tiverem expoentes maiores corresponderão valores mais altos das respectivas potências.
Então, em que caso aa>11a?
Se dividirmos ambos membros da desigualdade por a, teremos:
aa−1>11
é fácil determinar que a expressão acima se verifica somente no caso em que a é maior que 3, pois: 44−1>11, enquanto as potências 32 e 21 são menores que 11.
Ficam, portanto, explicadas as surpresas com que topamos ao resolver os problemas precedentes. Para os 2 e os 3, tínhamos de servir-nos de potências com expoentes de dois algarismos, enquanto para os 4 e algarismos de maior valor é preciso empregar-se a potência de potência.
Referências:
[1] Baseado no texto Aprenda Álgebra Brincando, de I. Perelmann, Ed. Humus
Muito bom o post parceiro. A explicação desta curiosidade ficou bem clara. Parabéns!
ResponderExcluirObrigado Professor.
ResponderExcluirObrigado pelos elogios do post. Nunca vi uma demonstração para o cálculo do volume do dodecaedro ou do icosaedro. Sendo solidos incritiveis acredito que a dedução de uma formula não é dificil. Irei pesquisar sobre esse assunto. No Wolfram existem as formulas para o volume sem as demonstrações.
ResponderExcluirAbracos
Pois é, a fórmula eu vi, mas queria demonstrá-la. Já fiz alguns esboços, mas nada ainda convincente. Se encontrar alguma coisa me avise por favor.
ResponderExcluirObrigado pea ajuda!
Abraços
Achei a demonstração para os dois solidos. Veja este site
ResponderExcluirhttp://www.literka.addr.com/ico_volume.htm
Os sites que você encontrou são muitos bons. Vou ler com calma para entender a fórmula do volume do dodecaedro.
ResponderExcluirEu acho interessante o contador de comentários. Tive que retirá-lo, pois ele deu pau, marcando apenas 26 comentários, regredindo também. Tentei instalá-lo novamente, mas não deu certo. Deixei um recado no Dicas Blog, mas até agora não recebi a resposta.
Abraços.
me ajudou muito obrigado beijos e abraços.
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