Demonstração de funções trigonométricas do arco duplo

Em trigonometria, o arco duplo (ou ângulo duplo) refere-se a expressões como $\text{sen}(2a)$, $\text{cos}(2a)$ e $\text{tg}(2a)$, por exemplo. Ou seja, o ângulo $a$ é "dobrado" como $2a$. As fórmulas para o arco duplo resultam diretamente das fórmulas de soma de arcos (pra seno, cosseno e tangente).

Neste artigo, veremos:

• Fórmulas de soma de arcos;
• Variações da fórmula de $\text{cos}(2a)$;
• Condições de existência para $\text{tg}(2a)$;
• Exemplos de aplicações.

1. Fórmulas de soma de arcos

Para dois ângulo $a$ e $b$, temos as seguintes identidades:

$$
\text{sen}(a+b) = \text{sen}(a)\cdot \text{cos}(b) + \text{cos}(a)\cdot \text{sen}(b)\\
\ \\
\text{cos}(a+b) = \text{cos}(a)\cdot \text{cos}(b) - \text{sen}(a)\cdot \text{sen}(b)\\
\ \\
\text{tg}(a+b) = \dfrac{\text{tg}(a)+\text{tg}(b)}{1-\text{tg}(a)\text{tg}(b)}
$$

2. Seno de $2a$

Reescrevemos $\text{sen}(2a)$ como $\text{sen}(a+a)$. Pelo seno da soma de arcos, temos:

$$
\text{sen}(2a) = \text{sen}(a+a)\\
\ \\
\text{sen}(2a) = \text{sen}(a)\ \text{cos}(a) + \text{sen}(a)\ \text{cos}(a)\\
\ \\
\text{sen}(2a) = 2\ \text{sen}(a)\ \text{cos}(a)
$$

3. Cosseno de $2a$

Reescrevemos $\text{cos}(2a)$ como $\text{cos}(a+a)$. Pelo cosseno da soma de arcos, temos:

$$
\text{cos}(2a) = \text{cos}(a+a)\\
\ \\
\text{cos}(2a) = \text{cos}(a)\ \text{cos}(a) - \text{sen}(a)\ \text{sen}(a)\\
\ \\
\text{cos}(2a) = \text{cos}^2(a) - \text{sen}^2(a)
$$

Esta é a forma principal, mas se utilizarmos a identidade fundamental $\text{sen}^2(a) + \text{cos}^2(a) = 1$, podemos reescrever o cosseno do arco duplo como:

▪ Substituindo $\text{sen}^2(a) = 1 - \text{cos}^2(a)$:

$$
\text{cos}(2a) = \text{cos}^2(a) - \big(1 - \text{cos}^2(a)\big)\\
\ \\
\text{cos}(2a) = 2\ \text{cos}^2(a) - 1
$$

▪ Substituindo $\text{cos}^2(a) = 1 - \text{sen}^2(a)$:

$$
\text{cos}(2a) = 1 - \text{sen}^2(a) - \text{sen}^2(a)\\
\ \\
\text{cos}(2a) = 1 - 2\ \text{sen}^2(a)
$$

Portanto, as três formas equivalentes são:

$$
\text{cos}(2a) =
\begin{cases}
\text{cos}^2(a)-\text{sen}^2(a)\\
\ \\
2\ \text{cos}^2(a)-1\\
\ \\
1 - 2\ \text{sen}^2(a)
\end{cases}
$$

4. Tangente de $2a$

Reescrevemos $\text{tg}(2a)$ como $\text{tg}(a+a)$. Pela tangente da soma de arcos, temos:

$$
\text{tg}(2a) = \text{tg}(a+a)\\
\ \\
\text{tg}(2a) = \dfrac{\text{tg}(a) + \text{tg}(a)}{1-\text{tg}(a) \cdot \text{tg}(a)}\\
\ \\
\text{tg}(2a) = \dfrac{2\ \text{tg}(a)}{1- \text{tg}^2(a)}
$$

Para esta fórmula do arco duplo da tangente é necessário observar a condição de existência, que é aplicável somente se:

\begin{cases}
a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\ \pi,\ \forall \ k \in \mathbb{Z} \\
\ \\
a \neq \dfrac{\pi}{4} + k\ \dfrac{\pi}{2},\ \forall \ k \in \mathbb{Z}
\end{cases}

Exemplo 1:

Vamos calcular $\text{sen}(120°)$.

Sabemos que $120° = 2 \cdot 60°$. Assim, temos que:

$$
\text{sem}(120°) = \text{sen}(2 \cdot 60°)\\
\ \\
\text{sen}(120°) = 2\ \text{sen}(60°)\ \text{cos}(60°)\\
$$

Sabemos que $\text{sen}(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e que $\text{cos}(60°) = \dfrac{1}{2}$. Assim:

$$
\text{sen}(120°) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
\ \\
\text{sen}(120°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
$$

Exemplo 2:

Vamos calcular o $\text{cos}(2a)$, sabendo que $a=45°$.

Vamos utilizar a fórmula:

$$
\text{cos}(2a) = \text{cos}^2(a)-\text{sen}^2(a)
$$

Sabemos que:

$$
\text{cos}(45°)=\text{sen}(45°) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
$$

Assim:

$$
\text{cos}(2a) = \text{cos}^2(45°) - \text{sen}^2(45°)\\
\ \\
\text{cos}(2a) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\
\ \\
\text{cos}(2a) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\\
\ \\
\text{cos}(2a) = 0
$$

Exemplo 3:

Se $\text{tg}(a)=2$, vamos calcular $\text{tg}(2a)$.

$$
\text{tg}(2a) = \dfrac{2\ \text{tg}(a)}{1-\text{tg}^2(a)}
\ \\
\text{tg}(2a) = \dfrac{2\cdot 2}{1-4}
\ \\
\text{tg}(2a) = \dfrac{4}{-3} = -\dfrac{4}{3}
$$

Observe que esse valor só é bem definido porque $1-\text{tg}^2(a) = -3 \neq 0$.

Veja mais:

• Adição e subtração de arcos
• A relação trigonométrica fundamental
• O arco metade ou semi-arco