Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nasceu em $13$ de fevereiro de $1805$ em Düren, Alemanha e morreu em $5$ de maio de $1859$ em Göttingen, Alemanha.

Dirichlet foi educado na Alemanha e na França, onde foi aluno de Poisson e Fourier. Sua primeira publicação foi sobre o Último Teorema de Fermat. Suas contribuições mais importantes forma no campo da Teoria dos Números e Análise Matemática.

Após sua morte, seu amigo Dedekind publicou seus escritos e outros resultados em Teoria dos Números sob o título Vorlesungen über Zahlentheorie (Aulas sobre Teoria dos Números).

Examinando uma tabela de números primos parece sugerir que estes tendem a se tornar cada vez mais raro à medida que se avança na sequência dos números naturais. Por exemplo: são $168$ os números primos entre $1$ e $1.000$; $135$ entre $1.000$ e $2.000$ e $127$ entre $2.000$ e $3.000$. Essa observação é confirmada, de um certo modo, pelo seguinte teorema: 

Teorema 1:

Para todo $n$, não importa quão grande ele seja, há sempre uma sucessão $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$ de números naturais consecutivos em que nenhum termo é primo:

\begin{equation*}
a_1 = (n+1)! + 2\\
a_2 = (n+1)!+3\\
\ \\
\vdots \\
\ \\
a_n = (n+1)! + (n+1)
\end{equation*}

Obrigatoriamente, $a_1$ é divisível por $2$, $a_2$ é divisível por $3$, $\cdots$, $a_n$ é divisível por $n+1$.

Apesar desses fatos, sabe-se que há mais de dois milênios, através de uma demonstração de Euclides (séc. $III\ a.C.$) em seus Elementos, que o conjunto dos números primos ao longo da sucessão dos números naturais é uma das questões mais interessantes da matemática.

Gauss, entre $1792$ e $1793$ (portanto com cerca de $15$ anos de idade), tabulou detalhadamente a distribuição dos primos em intervalos de $1.000$ números, de $1$ a $300.000$, com pouquíssimos erros, considerando os parcos recursos computacionais de que dispunha. E chegou estatisticamente à conclusão que o número de primos menores que $x$, costumeiramente indicado por $\pi (x)$, é aproximadamente igual a $x/ \ln(x)$, tanto mais próximo quanto maior $x$. Por exemplo:
\begin{equation*}
\pi (1.000.000) = 78.498
\end{equation*}Ao passo que:
\begin{equation*}
\frac{1.000.000}{\ln (1.000.000)} = 72.382.414
\end{equation*}Mas Gauss, ao que parece, não demonstrou esse resultado e tampouco o publicou. O primeiro matemático a publicar uma forma possível para a função $\pi (x)$ foi Legendre em seu Ensaio sobre a Teoria dos Números, em dois volumes $(1797 – 1798)$. Também do exame de um grande número de casos, Legendre conjecturou que $\pi(x)$ se avizinha arbitrariamente de:
\begin{equation*}
\frac{x}{\ln x-1,08366}
\end{equation*}
fazendo-se $x$ crescer indefinidamente. Tudo indicava que valeria o seguinte teorema, conhecido como teorema dos números primos. O quociente:
\begin{equation*}
\frac{\pi (x)}{x\ \ln(x)}
\end{equation*}
“tende” a $1$ à medida que $x$ “cresce indefinidamente”.

E, de fato, em $1896$ os matemáticos C. J. de La Vallée-Poussin (belga) e J. Hadamard (francês), em trabalhos independentes, mediante métodos analíticos, numa linha de abordagens da teoria dos números inaugurada por Riemann $(1826 – 1866)$, conseguiram provar esse teorema. Aliás, essa nova linha (teoria analítica dos números) vinha se mostrando extremamente fértil, como provaram os trabalhos de P. G. Lejeune Dirichlet $(1805 – 1859)$.

Embora alemão da cidade de Düren, Dirichlet optou por fazer seus estudos científicos em Paris $(1822 – 25)$, na época o melhor centro de matemática do mundo. Mas foi provavelmente a leitura da obra de seu conterrâneo Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, feita nesse período, o fato que mais influenciou sua carreira, pois, apesar de ter deixado contribuições em áreas diversas, é na teoria dos números que estão as mais significativas, tendo explorado com grande brilhantismo e originalidade o grande manancial que era a citada obra de Gauss.

Academicamente, Dirichlet iniciou sua carreira em Breslau, em $1827$. No ano seguinte transferiu-se para a Universidade de Berlim e, finalmente, em $1855$, sucede a Gauss em Göttingen.

Ao tempo de Dirichlet não era segredo que algumas progressões aritméticas, como:
\begin{equation*}
(4x+3)=(3,7,11,\cdots)
\end{equation*}
por exemplo, contêm infinitos números primos. Valeria também esse resultado para toda $P. A.$ :
\begin{equation*}
(a+bn),n = 0,1,2,3,\cdots
\end{equation*}
em que $a$ e $b$ são naturais primos entre si? Mediante instrumentos matemáticos sofisticados, pois se trata de uma questão extremamente difícil, embora não pareça, Dirichlet provou que sim. Esse teorema, com sua aparente ingenuidade, é daqueles que marcam a obra de um matemático.

Texto de : Hygino H. Domingues

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