EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação

A naftalina, quimicamente designada por naftaleno, é um hidrocarboneto aromático cuja molécula é constituída por dois anéis benzênicos condensados, juntamente com o benzenos (C₆H₆) e antraceno (C₁₄H₁₀).

Sua fórmula estrutural é dada por:

Sua fórmula molecular é dada por:

É uma substância cristalina branca em forma de lâminas ou esferas, altamente volátil que sofre sublimação⁽¹⁾ e possui odor característico de alcatrão das esferas antitraças e que arde como chama luminosa.

Nota (1): Sublimação é o processo físico que as partículas de uma dada substância passam do estado sólido para o gasoso (ou do gasoso para o sólido) diretamente, sem passar pela fase intermediária do estado líquido.

Exatamente por possui o odor forte e desagradável, esta característica é responsável pela propriedade inseticida, pois os fortes odores exalados pela substância são capazes de eliminar qualquer micro-organismo indesejável. É por isso que as esferas de naftalinas combatem a presença de traças em roupas de lã em armários fechados.

A naftalina ocorre de forma natural no petróleo, mas em pequenas quantidades através de um processo denominado reforming, modificação catalística de hidrocarbonetos alifáticos. Desta forma, é mais conveniente obter a substância por destilação do alcatrão da hulha, no qual está presente numa proporção de 7%.

Infelizmente os vapores exalados pela naftalina são também tóxicos ao ser humano, ficando exposto ao risco de inalar tal substância. Por este motivo, justifica-se por que a naftalina não é atualmente a melhor opção no controle de pragas.

O processo de sublimação de esferas de naftalina é tão interessante que foi alvo de estudos de matemáticos que conseguiram determinar uma equação diferencial onde é possível determinar a perda de material em função do raio da esfera de naftalina num instante t. Vamos primeiramente determinar a equação diferencia das esferas de naftalina.

Uma esfera de naftalina perde material por sublimação a uma taxa proporcional a sua superfície:

O volume da esfera é dado por:

E a área da esfera é dada por:

Substituindo (2) e (3) na equação diferencial (1), obtemos:

Encontrando:

Exemplo:

Sabendo que inicialmente o raio da hipotética esfera de naftalina é igual a 1 cm e que em 5 horas após o raio media 0,8 cm, podemos determinar em quanto tempo a esfera de naftalina irá sublimar completamente.

Da equação (5), segue que:

Integramos ambos os termos:

Sendo r(0) = 1 cm, então 1 = r(0) = C, de modo que:

Então, passado 6 horas, sabemos que r = 0,8 cm. Assim, aplicamos na equação (7):

A igualdade (8) nos mostra que o raio evolui a uma taxa de 0,04 cm/h. Aplicamos, agora, o valor de k encontrado em (8), na equação (7), encontrando:

Aqui já conseguimos determinar o momento da sublimação total da naftalina, que acontecerá quando o raio for igual a zero:

Logo:

Concluímos então que a esfera de naftalina sublima totalmente em um tempo de 25 horas.

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Veja Mais:

EDO: Lei dos Gases de Boyle
EDO: Lei da Refrigeração de Newton
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A Equação de Bernouli no blog Fatos Matemáticos
Uma Breve História da Equações Diferenciais no blog Fatos Matemáticos

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