EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação

A naftalina, quimicamente chamada de naftaleno $(C_{10}H_{8}$ é um hidrocarboneto aromático muito utilizado em armários e gavetas para combater traças. Sua molécula é constituída por dois anéis benzênicos condensados. É uma substância cristalina branca em forma de lâminas ou esferas, altamente volátil.

O que torna essa substância matematicamente interessante é o fato de ela sofrer sublimação, passando diretamente do estado sólido para o estado gasoso, sem passar pela fase intermediária do estado líquido.

À medida que o gás é exalado, a esfera vai reduzindo de tamanho. Essa característica foi alvo de estudo de matemáticos que conseguiram determinar uma equação diferencial onde é possível determinar a perda de material em função do raio da esfera em um instante $t$.

Modelo matemático

A quantidade de material que a naftalina perde depende do tamanho da sua superfície exposta ao ar.

Se a esfera for grande, ela possui uma grande área de contato e perde massa rapidamente. Se for pequena, a área é menor e a perda de massa é mais lenta. Assim, a taxa de variação do volume $V$ em relação ao tempo $t$ é proporcional à sua área de superfície $A$.

Podemos representar como:

$$ \frac{dV}{dt} = -k \cdot A \tag{1} $$

Onde:

• $\dfrac{dV}{dt}$ representa a derivada do volume em relação ao tempo, representando a velocidade com que o volume está mudando.
• O sinal negatico $(-)$ indica que o volume está diminuindo com o tempo.
• $k$ é uma constante de proporcionalidade que depende de fatores físicos, tais como temperatura, umidade, pureza do ar, etc.
• $A$ é a área da superfície esférica.

Vamos supor que as esferas de naftalina são perfeitas, assim, para o volume e área em função do raio $r$, temos:

Volume da esfera:

$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \tag{2} $$

Área da esfera:

$$ A = 4\pi r^2 \tag{3} $$

Descobrindo a variação do raio

Nosso objetivo é descobrir como o raio varia com o tempo, já que medir o raio diretamente é muito mais fácil do que medir o volume. Para isso, precisamos aplicar a Regra da Cadeia do cálculo na Equação $(2)$ para derivar o volume em relação ao tempo:

$$ \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot \left( 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt}\right) $$

Multiplicamos por $\dfrac{dr}{dt}$ porque o raio é uma função do tempo, reduzindo conforme o tempo passa.

Simplificando, obtemos:

$$ \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \tag{4} $$

Agora, substituímos as equações $(3)$ e $(4)$ na equação prinicipal $(1)$:

$$ 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k \cdot \left(4\pi r^2\right) $$

Simplificando, obtemos:

$$ \frac{dr}{dt} = - k \tag{5} $$

Resolvendo a EDO

A equação diferencial $(5)$ é uma EDO separável. Pra resolvê-la, isolamos o termo que contém $r$ de um lado e o que contém $t$ do outro:

$$ dr = -k \cdot dt $$

Aplicamos a integral em ambos os lados para encontrar a função do raio:

$$ \int dr = \int -k \cdot dt\\ \ \\ \int dr = -k \int dt $$

Calculamos as integrais:

$$ r(t) = -k \ t + C \tag{6} $$

Onde $C$ é a constante de integração que descobriremos usando as condições iniciais do problema.

Exemplo

Sabe-se que uma esfera padrão de naftalina possui tipicamente um diâmetro de aproximadamente $2\ cm$. Em condições normais de armários residenciais fechados, a uma temperatura ideal de $25°C$, estudos práticos de evaporação indicam que uma esfera leva aproximadamente 3 meses oara perder metade do raio original.Vamos utilizar esses dados para prever o tempo de sublimação total da naftalina.

Dados iniciais:

• No instante inicial $t=0$, o raio é de $r=1,0\ cm$.
• No instante $t=90$ dias, o raio é de $r=0,5\ cm$.

Encontrando o valor de $C$:

Substituindo $t=0$ e $r=1,0$ na equação $(6)$, obtemos:

$$ r (t) = -k\ t + C\\ \ \\ 1 = -k (0) + C\\ \ \\ C = 1 $$

Substituindo $C$ na equação, obtemos:

$$ r(t) = -k\ t + 1 \tag{7} $$

Encontrando o valor da taxa de evaporação $(k)$:

Sabemos que em $t=90$ dias, o raio $r$ é de $0,5\ cm$. Substituindo esses valores na equação $(7)$, obtemos:

$$ r(t) = -k\ t + 1\\ \ \\ 0,5 = -k \cdot 90 + 1\\ \ \\ 90k = 1 - 0,5\\ \ \\ 90k = 0,5\\ \ \\ k = \frac{0,5}{90}\\ \ \\ k \approx 0,00556 $$

Assim, a esfera de naftalina perde aproximadamente $0,00556\ cm$ de raio a cada dia.

Calculando o tempo de sublimação total:

A naftalina desaparece completamente quando seu raio foi igual a zero $(r=0)$. Substituindo $r=0$ e $k=0,00556$ na equação $(7)$, obtemos:

$$ r(t) = -k\ t + 1\\ \ \\ 0 = -0,00556 \cdot t + 1\\ \ \\ 0,00556\ t = 1\\ \ \\ t = \frac{1}{0,00556}\\ \ \\ t \approx 180 $$

Assim, a sublimação total da naftalina ocorre em cerca de 180 dias.

Veja mais:

• EDO: Queda dos corpos com resistência do ar
• EDO: Lei da refrigeração de Newton
• EDO: Lei dos gases de Boyle