A técnica de datação por Carbono-14 $(^{14}\text{C})$ foi desenvolvida pelo químico norte-americano Willard Libby no ano de 1947. Essa descoberta é considerada uma das mais importantes ferramentas científicas para a arqueologia, geologia e outras áreas de estudo, pois através dela é possível precisar a idade de fósseis orgânicos encontrados e, assim, reconstruir a história do planeta Terra.
Plantas assimilam o isótopo $^{14}\text{C}$ durante a fotossíntese, e os animais o absorvem ao se alimentarem dessas plantas. Da mesma forma, o $^{14}\text{CO}_2$ dissolve-se nos oceanos, tornando-se disponível ao plâncton, corais e peixes. Assim, todos os seres vivos (terrestres e marinhos) repõem continuamente o $^{14}\text{C}$ em seus organismos, mantendo a proporção em equilíbrio com a atmosfera durante toda a vida. A abundância natural do $^{14}\text{C}$ é de apenas $0,000001\%$, enquanto a do $^{12}\text{C}$ (estável) é de $98,9\%$.
Quando ocorre a morte das plantas ou animais, a entrada de $^{14}\text{C}$ cessa imediatamente. A partir desse momento, a quantidade residual do isótopo no material começa a decair gradativamente, seguindo a equação:
$$ ^{14}_{\ 6}\text{C} \longrightarrow \ ^{14}_{\ 7}\text{N} + \beta^- $$Determinando a quantidade de decaimento radiativo que já ocorreu na amostra, o tempo da morte pode ser matematicamente estabelecido.
Fórmula matemática
O decaimento radioativo é um processo probabilístico contínuo. A regra fundamental é que a taxa com que os núcleos de uma amostra decaem em relação ao tempo é diretamente proporcional à própria quantidade de núcleos radioativos remanescentes naquele exato instante.
Podemos expressar esse comportamento através da seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
$$ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \tag{1} $$Onde:
- A diferencial $\dfrac{dN}{dt}$ representa a derivada da quantidade do isótopo em relação ao tempo, ou seja, a velocidade do decaimento.
- $N$ é a quantidade do isótopo presente no instante $t$.
- $\lambda$ é a constante de decaimento, uma característica intrínseca do elemento (estritamente positiva).
- O sinal negativo $(-)$ indica que a taxa de variação é negativa. Fisicamente, ele garante que a função é decrescente, ou seja, a quantidade de material no fóssil diminui com o passar do tempo.
Resolvendo a EDO por separação de variáveis
A equação $(1)$ é uma clássica EDO linear separável. Para resolvê-la, precisamos isolar todos os termos que contêm a variável $N$ de um lado da igualdade e os termos da variável $t$ do outro. Multiplicamos ambos os membros por $dt$ e dividimos por $N$:
$$ \frac{dN}{N} = -\lambda dt $$Agora, aplicamos a integral em ambos os membros:
$$ \int \frac{dN}{N} = - \int \lambda dt $$Calculamos as integrais, obtendo o logaritmo natural:
$$ \ln (N) = -\lambda t + C $$Onde $C$ é a constante de integração.
Isolando a variável e definindo a constante
Para eliminar o logaritmo e encontrar a função que nos dá a quantidade de material $N(t)$, aplicamos a função exponencial $e$ em ambos os lados da equação:
$$ e^{\ln(N)} = e^{-\lambda t + C} $$Como a função exponencial e o logaritmo natural são operações inversas, o lado esquerdo simplifica-se para $N$. Utilizando as propriedades da potenciação, desmembramos o lado direito:
$$ N(t) = e^C \cdot e^{-\lambda t} $$Sabendo que o exponencial de uma constante genérica $C$ resulta em uma nova constante, podemos definir $e^C = N_0$, que representa a quantidade inicial de Carbono-14 no exato momento da morte do organismo $(t=0)$:
$$ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \tag{2} $$Na prática laboratorial de datação, mede-se a atividade radiativa da amostra $(A)$, que é sempre proporcional a $N$. O $^{14}\text{C}$ tem uma meia-vida real de aproximadamente $5.730$ anos, porém, por convenção internacional arqueológica, utiliza-se até hoje o valor determinado na década de 50 de $T_{1/2} = 5.568$ anos (que embute um pequeno erro corrigido por calibrações de laboratório posteriores).
Lembrando que a constante de decaimento se relaciona com a meia-vida através de $\lambda = \dfrac{\ln(2)}{T_{1/2}}$, chegamos à forma analítica final e mais usual:
$$ A_{\text{análise}} = A_{\text{padrão}} \times \exp \left[ -\frac{\ln(2)}{T_{1/2}} t \right] \tag{3} $$Onde:
- $A_{\text{análise}}$ é a atividade medida no fóssil hoje.
- $A_{\text{padrão}}$ é a atividade padrão na ocasião da morte do ser vivo $(A_0)$.
- $T_{1/2}$ é a meia-vida ($5.568$ anos).
- $t$ é o tempo decorrido em anos.
Exemplo:
Com base nestas informações e no modelo obtido pela equação diferencial, vamos determinar há quanto tempo viveu um fóssil cujas análises revelaram os seguintes dados:
- $A_{\text{análise}} = 0,0069 \text{ Bq}$
- $A_{\text{padrão}} = 1,0000 \text{ Bq}$
Resolução:
Utilizando a equação final $(3)$, substituímos os valores conhecidos do problema:
$$ A_a = A_p \times \exp \left[ -\frac{\ln(2)}{T_{1/2}} t \right]\\ \ \\ 0,0069 = 1 \times \exp \left[ -\frac{\ln(2)}{5568} t \right] $$Aproximando $\ln(2)$ para $0,693147$, calculamos a constante dentro do expoente:
$$ 0,0069 = \exp \left[ -\frac{0,693147}{5568} t \right]\\ \ \\ 0,0069 = \exp \left[ -1,25 \times 10^{-4} t \right] $$Para isolarmos a variável tempo $t$, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, neutralizando a exponencial:
$$ \ln(0,0069) = -1,25 \times 10^{-4} t\\ \ \\ -4,976 = -1,25 \times 10^{-4} t\\ \ \\ t = \frac{-4,976}{-1,25 \times 10^{-4}}\\ \ \\ t = 39.808 $$Concluímos que o fóssil viveu há aproximadamente $39.810$ anos.
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