EDO: Técnica de Datação por Carbono-14 (14C)

A técnica do carbono $14$ foi descoberta pelo químico Willard Libby no ano de $1947$. Essa descoberta é considerada uma das mais importantes descobertas científicas para a arqueologia e outras áreas de estudos, pois através desta técnica é possível se precisar a idade dos fósseis encontrados e assim reconstruir a história do planeta Terra.

Plantas assimilam $^{14}C$ durante a fotossíntese e animais comem plantas. Assim, todos os seres terrestres vivos mantêm sua entrada de $^{14}C$ durante sua vida. O $^{14}CO_2$, como o ,$CO_2$, dissolve-se nos oceanos e está disponível ao plâncton, corais, moluscos e peixes, de modo que todos os seres durante sua vida reabastecem-se continuamente de $^{14}C$.

Na morte das plantas ou animais a entrada de $^{14}C$ cessa. O tempo da morte pode ser estabelecido pela determinação de $^{14}C$ residual. A abundância natural do $^{14}C$ é de $0,000001\%$, enquanto do $^{12}C$ é de $98,9\%$. O decaimento segue a seguinte equação:
\begin{equation*}
^{14}_{6}C \ \longrightarrow \ ^{14}_{7}N \ \longrightarrow  \ ^0_{-1}\beta
\end{equation*}
O $^{14}C $ decai com meia-vida de $5730$ anos. Por convenção internacional utiliza-se até hoje o valor de meia-vida de $5568$ anos determinado na década de $50$, que sabidamente apresenta um erro da ordem de $3\%$.
\begin{equation*}
A_{\text{análise}} = A_{\text{padrão}} \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{T_{1/2}} \ t \right]
\end{equation*}
onde:

$A_{\text{análise}}$ é a atividade medida;

$A_{\text{padrão}}$ é a atividade padrão, na ocasião da morte do fóssil;

$T_{1/2}$ é a meia-vida do, $5.568$ anos;

$t$ é o tempo decorrido em anos.

Com base nestas informações e no resultado da equação diferencial do decaimento radiativo, determine há quanto tempo viveu um fóssil, cujas análises revelaram:

$A_{\text{análise}}  = 0,0069\ Bq$

$A_{\text{padrão}} = 1,0000\ Bq$

Resolução:

\begin{equation*}
A_a = A_p \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{T_{1/2}} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = 1 \times \exp \left[ -\frac{\ln (2)}{5568} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = 1 \times \exp \left[ -\frac{0,6931471}{5568} \ t \right]\\
\ \\
0,0069 = \exp \left[ 1,25 \times 10^{-4}\ t \right]\\
\ \\
0,0069 = e^{1,25 \times 10^{-4}\ t}\\
\ \\
\ln (0,0069) = -1,25 \times 10^{-4}\ t\\
\ \\
-4,976 = -1,25 \times 10^{-4}\ t\\
\ \\
t = 39.809,8
\end{equation*}
O fóssil viveu aproximadamente $39.810$ anos.

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