23/08/2010

EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

image Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

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onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.

Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:

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A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

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é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

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[Figura 1]

A força resultante será:

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Se substituirmos (4) em (1), obteremos:

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Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

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Multiplicando (6) por (5), obtemos:

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Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:

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Pois:

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Assim, comparando (7) com (9), segue que:

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Ou seja,

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Usando o fato que v(0) = v0, segue que

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que é a velocidade em cada instante.

Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a:

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Se k > 0, a velocidade limite v1 é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:

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Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.

Exemplo 1: Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;

b) A expressão da posição do corpo no instante t;

c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

image [Figura 2]

Como não há resistência do ar, usamos a equação (10):

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Esta é uma equação linear separável. Assim:

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a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt

b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:

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Sendo x(0) = 0, segue que:

clip_image050

c) Para x(t) = 100, temos:

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Se adotarmos g = 10m / s2, teremos:

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Quero deixar meu agradecimento para o Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos que contribuiu para o desenvolvimento deste artigo.


Veja mais:

Galileu e a queda dos corpos
Equação do Movimento, Queda Livre e Lançamento Vertical
O Que é Mais Rápido: Subir ou Descer? no Blog Pós-Graduando em Física
A velocidade Terminal de um Pára-Quedas no Blog Fatos Matemáticos

33 comentários:

  1. A versão final ficou muito boa. Obrigado por citar o blog e o post sobre a velocidade terminal de um pára-quedas. Abraços!

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  2. Que bom que gostou. Sem sua ajuda acho que não sairia dessa forma.

    Um abraço!

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  3. Interessante que você utilizou -kv para a força de arrasto. No livro Dinâmica Clássica de Partículas, Marion e Thornton pág. 52, é utilizado -kmv, a massa então é cancelada em ambos os lados da equação e a solução não depende da massa.

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  4. humm, vou pesquisar este livro para ver o desenvolvimento.

    Agradeço seu comentário e observação.

    Um abraço.

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  5. Uhuuulll...
    Estavamos queimando nossos neurônios aqui... Valeu meeeesmo!!!!
    Agora vamos formar... \o

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  6. Oi!. Se não houvesse o atrito a equação seria a=g certo? Mas isto não resultaria em uma equação horária onde y cresceria indefinidamente $y=y_{0}+v_{0}t+\frac{g}{2}t^2$?

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  7. Sim, mas se adotamos altura inicial sendo zero e a velocidade inicial igual a zero, caímos na mesma equação: $x(t)=\dfrac{gt^2}{2}$.

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  8. Oi! Você poderia escrever para mim os vetores aceleração, velocidade e posição?

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  9. É que estou encafifado com os sinais. Me parece que na letra c) do exemplo você trocou pois se a pedra caiu de uma altura de 100 m então temos $x(0)=100$ e $x(t)=0$....

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  10. Adriano, veja que o eixo vertical está orientado para baixo, sendo positivo para baixo. para $x(t)=0$ temos $t=0$, que é no instante em que o corpo é largado de uma altura de 100m. Para $x(t)=100$, ou seja, a distância total até o solo, gasta-se 4,5s.

    Tem uma regrinha que usava, vou tentar lembrar agora:

    Orientação Vertical de Baixo para Cima
    1) Na descida, a velocidade é negativa;
    2) $g$ é sempre negativa;
    3) $y_0$ está no ponto de origem da queda do corpo;
    4) $y$ é o ponto final do deslocamento do corpo.

    Lançamento Vertical
    1) Na subida, a velocidade é positiva;
    2) $g$ é sempre negativa;
    3) $y_0$ é o ponto de origem do lançamento;
    4) $y$ é o ponto máximo que o corpo atinge.

    Com isso podemos montar uma figura representativa que facilita a visualização.

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    1. Veja as imagnes neste link:

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/05/equacao-do-movimento.html

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  11. Isso é coisa do tinhoso...
    Eu não acredito que vou ter que aprender tudo isso!
    Me salva, me diz que só vou ter aprender isso beeeem mais tarde... (sou nono ano (fundamental II)

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    1. Você só terá que aprender isso se for fazer exatas na faculdade.

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  12. Eduardo Muller24/11/2012 17:45

    Profesor, uma dúvida... Vi em um livro de física que a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade (mais precisamente F = C . r . A . v^2 onde C é o coeficiente de arasto, r é a densidade do ar e A a área da seção transversal do corpo) mas aqui está dizendo que a força é apenas proporcional à velocidade... Como definimos o coeficiente k então?

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  13. Eduardo, este artigo não mostra como determinar o coeficiente de arrasto, já que este é determinado experimentalmente. Veja os links do Wikipédia:

    Equação do arrasto: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_arrasto

    Coeficiente do arrasto: http://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_arrasto

    Um abraço.

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  14. Num exercicio ele me da g=dv/dt + (kv^2)/m, qu método de integração eu utilizo, ja que tenho v^2?

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    Respostas
    1. Olá amigo, neste caso, faça a separação das variáveis. Veja esta EDO resolvida neste artigo:

      http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/04/velocidade-terminal-de-um-para-quedas.html

      Abraços!

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  15. se eu mudasse a forma geometrica do objeto que está em queda livre, por exemplo, uma pessoa saltando e depois abrindo o para-quedas... consequentemente a restistencia do ar aumentaria, como eu resolveria esse problema??

    obrigado!

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  16. Veja o problema do para-quedas no link abaixo:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/04/velocidade-terminal-de-um-para-quedas.html

    Abraços!

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    1. precisa ser convidado para olhar.
      meu email: pcaetaninha@gmail.com

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  17. Belo texto. Parabéns. A algum tempo atrás, eu escrevi um pequeno texto para o Portal Píon da Sociedade Brasileira de Física reportando o mesmo problema, porém especificamente, perguntando se é mais rápido para um corpo subir ou descer.

    (http://www.sbfisica.org.br/v1/pion/index.php/publicacoes/artigos/54-subir-ou-descer)

    Disponibilizei-o recentemente no meu blog (http://jefsrodrigues.blogspot.com.br/2012/11/o-que-e-mais-rapido-subir-ou-descer.html). São temas relacionados, fantástico!

    Att.


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  18. o que vem a ser o w na equação?? e se eu no caso for proporcional a velocidade ao quadrado (kv²) é so substituir v por v² nas equaçoes?

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  19. Veja que para resolver a equação (5), usamos o fator integrante dado em (6), de modo que $w$ é uma mudança de variável.

    Para $v^2$, neste caso, faça a separação das variáveis. Veja esta EDO resolvida neste artigo:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/04/velocidade-terminal-de-um-para-quedas.html

    Abraços.

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    Respostas
    1. mas teria algum problema nas equações se substituir diretamente v por v²?

      desde já , obrigado.

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    2. Sim. Para cada caso, tem um método específico de resolução. PAra $v^2$ faz-se a separação de variáveis e para $v$ usa-se o fator integrante.

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    3. Obrigado. Você sabe me dizer quando se utiliza v ou v². Obrigado de novo!!

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  20. Caro Professor,tem um exercicio semelhante a este que não estou conseguindo resolver (traduzido do meirovitch-Methods of Analitical Dynamics):

    Uma partícula de massa m é lançada verticalmente com velocidade V num campo gravitacional uniforme g. Considerando o atrito viscoso do ar diretamente
    proporcional à velocidade ( f = -cV ) determine o tempo necessário para que a partícula retorne ao ponto de partida. Com que velocidade essa partícula retorna?

    O Sr poderia, por favor, dar uma ajuda?

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  21. Interessante desenvolvimento. Em modelos mais avançados, tem-se que a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, mas aí tem-se o inconveniente da EDO do sistema não ser mais linear.

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  22. Tem um livro, acho, Kazunoru Watari, da USP, que fala mais dessa exponencial em queda livre, bem como correlatos. É mais complicado que o $$h=gt^2/2$$ do colegial. Excelente.

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  23. OLA GOSTARIA DE SABER QUAL A INFLUENCIA DA RESISTENCIA DO AR

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  24. oi pessoal queria uma ajuda,como isolar a massa na formula da velocidade do paraquedista em queda live v(t) = g * m * ( 1 – e – (c / m) * t))/ c

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  25. Professor, não entendi a parte que você considerou o fato que v(0) = v0, sei que usou isso porque se trata de uma queda livre e portanto a velocidade inicial é igual a zero, mas não entendi porque você substituiu a constante c por $v(0) - (mg/k)$. Fazendo as contas eu achei que a constante c deveria ser substituída por $(-mg/k) * e^(k/m)$ quando V(0)=0. Como você conseguiu substituir dessa forma? Obrigado desde já pela atenção!

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