EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

1. O modelo físico e a Segunda Lei de Newton

Consideremos um corpo de massa $m$ em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade $g$ e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante:

$$ F= m \frac{dv}{dt} \tag{1} $$

onde $F$ é a força resultante que atua sobre o corpo e $v$ é a velocidade do corpo, consideradas no instante $t$.

Forças atuantes:

Em um corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele:

1. A primeira é a força peso $p$ que atua no sentido do movimento (para baixo, portanto positiva):

$$ p = mg \tag{2} $$

2. A segunda é a força de resistência do ar $F_{ar}$, proporcional à velocidade atua no sentido contrário ao movimento (para cima, portanto negativa):

$$ F_{ar} = -kv \tag{3} $$

onde $k \geqslant 0$ é uma constante de proporcionalidade do atrito com o ar.

A força resultante $F$ será a soma dessas forças:

$$ F = mg - kv \tag{4} $$

2. Construindo a equação diferencial (EDO)

Se substituirmos $(4)$ em $(1)$, obteremos:

$$ mg - kv = m \frac{dv}{dt} $$

Para resolver essa equação, vamos isolar os termos com a variável $v$ do mesmo lado:

1. Somamos $kv$ em ambos os lados para agrupar as forças:

$$ mg = m \frac{dv}{dt} + kv $$

2. Dividimos todos os termos da equação pela massa $m$ para isolar a derivada:

$$ \frac{mg}{m} = \frac{m}{m}\ \frac{dv}{dt} + \frac{kv}{m} $$

3. Simplificando, chegamos à forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:

$$ g = \frac{dv}{dt} + v \frac{k}{m} \tag{5} $$

3. Resolvendo pelo método do fator integrante

A equação $(5)$ possui a forma clássica:

$$ \frac{dv}{dt} + P(t)v = Q(t) $$

onde $P(t) = \frac{k}{m}$ e $Q(t) = g$.

Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

$$ \mu = e^{\int\ k/m\ dt} \Longrightarrow \mu = e^{kt/m} \tag{6} $$

Multiplicando $(6)$ por $(5)$, obtemos:

$$ e^{kt/m} \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}e^{kt/m}v = ge^{kt/m} \tag{7} $$

A regra do produto:

Observe que o lado esquerdo de $(7)$ é exatamente o resultado da derivada do produto de duas funções:

$$ w(t) = e^{kt/m} \cdot v \tag{8} $$

Se aplicarmos a regra do produto $f^\prime (u \cdot v) = u^\prime v + u v^\prime$, veremos que:

$$ \frac{d}{dt}\left(e^{kt/m}v\right) = \left(\frac{k}{m} e^{kt/m}\right) \cdot v + e^{kt/m} \frac{dv}{dt} \tag{9} $$

Portanto, podemos reescrever o lado esquerdo da forma compacta:

$$ \frac{d}{dt} \left(e^{kt/m}v \right) = g e^{kt/m} $$

4. Integrando e isolando a velocidade

Para nos livrarmos da derivada no lado esquerdo, integramos ambos os lados em relação ao tempo $(t)$:

$$ \int \frac{d}{dt} \left(e^{kt/m}v \right) dt= \int g e^{kt/m}dt \\ \ \\ e^{kt/m}v = g \int e^{kt/m}dt $$

Para resolvermos a integral do lado direito, usamos o método de integração de substituição, fazendo $u=\dfrac{kt}{m}$. Assim, $dt = \dfrac{m}{k} du$:

$$ \int e^{kt/m}dt = \frac{m}{k} e^{kt/m} $$

Substituindo de volta na equação e adicionando a constante de integração $C$:

$$ e^{kt/m}v = g \left(\frac{m}{k} e^{kt/m}\right) + C \\ \ \\ e^{kt/m}v = \frac{mg}{k} e^{kt/m} + C $$

Para isolar a velocidade $v(t)$, dividimos toda a equação por $e^{kt/m}$, que é o mesmo que multiplicar por $e^{- kt/m}$:

$$ v(t) = \frac{\dfrac{mg}{k} e^{kt/m}}{e^{kt/m}} + \frac{C}{e^{kt/m}} $$

Ou seja:

$$ v(t) = \frac{mg}{k} + Ce^{-kt/m} $$

5. Determinando a constante $C$ (problema de valor inicial)

Para encontrarmos o valor exato de $C$, usamos a condição inicial do corpo: no instante $t=0$, a velocidade inicial é $v(0) = v_0$. Substituindo $t=0$ na equação, obtemos:

$$ v(0) = \frac{mg}{k} + Ce^{-k\cdot 0/m} $$

Como $e^0=1$, temos:

$$ v(0) = \frac{mg}{k} + C \cdot 1 $$

Isolando $C$:

$$ C = v_0 - \frac{mg}{k} $$

Substituindo este valor de $C$ de volta na equação da velocidade, encontramos a solução geral:

$$ v(t) = \frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right) e^{-kt/m} $$

que é a velocidade em cada instante.

6. Análise de casos limites

Se não houver resistência do ar $(k=0)$

Se a resistência do ar é desprezível e a equação $(5)$ se reduz a:

$$ \frac{dv}{dt} = g \Longrightarrow v(t) =gt + v_0 \tag{10} $$

Velocidade limite (terminal)

Se o corpo cai por muito tempo $(t \longrightarrow \infty)$, o termo exponencial $e^{-kt/m}$ tende a zero. Graficamente, a velocidade para de aumentar e se estabiliza. Essa velocidade limite $(v_1)$ ocorre quando a força de atrito iguala o peso:

$$ v_1 = \frac{mg}{k} \tag{11} $$

Uma observação importante é que as equações $(5)$ e $(11)$ são válidas somente se as condições dadas forem substituídas. Se a velocidade for muito alta, a resistência do ar deixa de ser proporcional à velocidade e passa a ser proporcional ao quadrado da velocidade, então a equação diferencial torna-se não linear, exigindo outros métodos de resolução (como a separação de variáveis).

7. Exemplo

Deixa-se cair um corpo de massa de $5\ kg$ de uma altura de $100\ m$, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

1. A expressão da velocidade do corpo no instante $t$;
2. A expressão da posição do corpo no instante $t$;
3. O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

1. Expressão da velocidade:

Como não há resistência do ar, usamos a equação $(10)$:

$$ g = \frac{dv}{dt} $$

Essa é uma equação linear separável. Assim:

$$ dv = g\ dt \\ \ \\ \int dv = \int g\ dt \\ \ \\ v(t) = gt + C $$

Como o corpo partiu do repouso $v(0) = 0$, temos que $C=0$, logo:

$$ v(t) = gt $$

2. Expressão da posição:

Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo $\left(v = \dfrac{dx}{dt}\right)$. Então:

$$ \frac{dx}{dt} = gt \\ \ \\ dx = gt\ dt \\ \ \\ \int dx = g\int t\ dt \\ \ \\ x(t) = \frac{gt^2}{2}+C $$

Adotando a origem no ponto de soltura $\big( x(0)=0 \big)$, a constante $C$ se anula. Assim, a função horária da posição é dada por:

$$ x(t) = \frac{gt^2}{2} $$

3. Tempo para atingir o solo:

Para $x(t)=100$, fazemos:

$$ 100 = \frac{gt^2}{2} $$

Se adotarmos a aproximação $g=9,8\ m/s^2$, teremos:

$$ 100 = \frac{9,8t^2}{2} \\ \ \\ 200 = 9,8 t^2 \\ \ \\ t^2 = \frac{200}{9,8} \\ \ \\ t \approx 20,4 \\ \ \\ t \approx \sqrt{20,4} \\ \ \\ t \approx 4,5\ s $$

O corpo leva aproximadamente $4,5$ segundos para atingir o solo.

Veja mais:

• Galileu e a queda dos corpos
• Equação do movimento, queda livre e lançamento vertical
• EDO: A naftalina e o tempo de sublimação