05/01/2011

Ângulos Entre Circunferências e Circunferências Ortogonais

Parece estranho este título, mas na verdade é possível medir ângulos entre duas circunferências secantes utilizando retas tangentes como suporte. Assim como existem circunferências ortogonais.

Sejam duas circunferências C1 e C2 que se interceptam num ponto P. As tangentes t1 e t2 respectivas às circunferências no ponto P formam um ângulo θ entre si.

image Uma consequência imediata é que dada duas circunferências C1 e C2 secantes nos pontos P e Q, os ângulos entre as tangentes no ponto P é igual ao ângulo entre as tangentes no ponto Q.

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Por outro lado, dada uma circunferência C1 e uma reta r secante à circunferência nos pontos P e Q, os ângulos entre C1 e r no ponto P é igual ao ângulo entre C1 e r no ponto Q.

image Quando uma reta r secante à circunferência C1 passa pelo seu centro, r é ortogonal à C1, assim como a tangente t1 no ponto P ou Q.

image Sejam duas circunferências C1 e C2 que se interceptam num ponto P. Quando as tangentes t1 e t2 respectivas às circunferências no ponto P formam um ângulo reto entre si, dizemos que as circunferências são ortogonais.

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Veja mais:

Retas Tangentes a uma Curva
Alguns Fatos da Tangente de x no Blog Fatos Matemáticos


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5 comentários:

  1. essa definição de circunferências ortogonais me salvaram! valeeeeeu!!

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  2. * me salvou. rs

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  3. Olá, fico feliz em saber que lhe foi útil. Obrigado pela visita e bons estudos!

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  4. como provar que as tangentes às circunferencias ortogonais passam pelos centros?

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  5. Olá,
    Primeiramente, como estamos tratando de circunferências, a reta tangente à circunferência num ponto P é ortogonal ao raio OP da circunferência. Veja mais sobre retas tangentes a uma curva no link abaixo:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/11/reta-tangente-uma-curva.html
    Desta forma, como as tangentes a cada circunferência são ortogonais aos respectivos raios, e as duas tangentes são ortogonais entre si num ponto P, logo as tangentes passam pelos centros das circunferências e são coincidentes aos raios.
    Estou pensando aqui que através da geometria analítica talvez conseguimos provar através das equações das circunferências, que tem um ponto em comum P, veja no link abaixo:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2011/06/interseccao-de-circunferencias.html
    Então, provando que as retas tangentes passam pelos centros. Seria um bom estudo para nós. Se arrumar um tempinho vou me dedicar a isso.
    Um abraço.

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