Intersecção de circunferências

A equação da circunferência é dada por:

$$\begin{equation} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{equation}$$

Onde $a$ e $b$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada na origem, a equação $(1)$ se transforma em:

$$\begin{equation} x^2+y^2=r^2 \end{equation}$$

Graficamente, temos:

Sejam duas circunferências $C_1$ e $C_2$. A intersecção dessas duas circunferências é determinada pelos pontos $P(x,y)$ que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equações. Podemos encontrar $3$ situações possíveis:

$1)$ Dois pontos em comum $P_1$ e $P_2$. Isso implica que o sistema de equações admite duas soluções: $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$. Graficamente:

$2)$ Um ponto em comum $P(x,y)$. Isso implica que o sistema de equações admite apenas uma solução real: $P(x,y)$. Graficamente:

$3)$ Nenhum ponto em comum, ou seja, $C_1 \cap C_2 = \phi$. Isso implica que o sistema de equações é impossível. Graficamente:

Vamos resolver alguns exemplos para melhor esclarecimento.

Exemplo 1:

Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: x^2+(y-2)^2=4$ e $C_2: \: (x-1)^2+y^2=1$.

Podemos montar o seguinte sistema com as equações:

$$\left\{\begin{matrix} x^2+(y-2)^2=4\\ (x-1)^2+y^2=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-4y=0\\ x^2-2x+y^2=0 \end{matrix}\right.$$

Resolvendo o sistema, encontramos os valores:

$$\begin{matrix} y_1=0 \Rightarrow x_1=0\\ y_2=\frac{4}{5} \Rightarrow x_2=\frac{8}{5} \end{matrix}$$

Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:

$$\begin{equation*} P_1=(0,0) \qquad \text{e} \qquad P_2=\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5} \right) \end{equation*}$$

O conjunto solução é:

$$\begin{equation*} C_1 \cap C_2=\left \{ (0,0),\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)\right \} \end{equation*}$$

Graficamente, temos:

Exemplo 2:

Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: x^2+y^2=4$ e $C_2: \: (x-4)^2+y^2=36$.

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=4\\ (x-4)^2+y^2=36 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=4\\ x^2-8x+y^2=20 \end{matrix}\right.$$

Resolvendo o sistema, encontramos apenas um valor para $x$:

$$\begin{equation*} x=-2 \Rightarrow y=0 \end{equation*}$$

Logo, as circunferências interceptam-se em apenas um ponto:

$$\begin{equation*} P_1=(-2,0) \end{equation*}$$
O conjunto solução é:
$$\begin{equation*} C_1 \cap C_2={(-2,0)} \end{equation*}$$
Graficamente, temos:

Exemplo 3:

Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: (x-2)^2+(y-2)^2=1$ e $C_2: \: x^2+(y-2)^2=49$.

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

$$\left\{\begin{matrix} (x-2)^2+(y-2)^2=1\\ x^2+(y-2)^2=49 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-4x+y^2-4y=-7\\ x^2+y^2-4y=45 \end{matrix}\right.$$
Resolvendo o sistema, encontramos:
$$\begin{equation*} x=13 \end{equation*}$$

Se substituirmos este valor de $x$ na primeira equação, chegamos a uma equação do segundo grau, cujo discriminante $\Delta$ é negativo:

$$\begin{equation*} y=\frac{4\pm \sqrt{-480}}{2} \end{equation*}$$

Isso implica dizer que o sistema é impossível. Logo, não há intersecção entre as circunferências.

O conjunto solução é:
$$\begin{equation*} C_1 \cap C_2 ={\phi} \end{equation*}$$
Graficamente, temos:

Links para este artigo:

• http://bit.ly/interseccao-de-circunferencias
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/06/interseccao-de-circunferencias.html

Veja mais:

• Como Encontrar o centro de uma Circunferência
• Retificando uma Circunferência
• Ângulo entre Circunferências e Circunferências Ortogonais