Aproximação de pi como soma de dois números irracionais

Karl Raimund Popper (1902 - 1994), foi um filósofo austríaco naturalizado britânico, talvez um dos mais influente do século XX. Em sua obra polêmica anti-Platão: A Sociedade Aberta e seus Inimigos, Popper questiona se Platão em seu período de desenvolvimento dos sólidos platônicos, teria escolhido triângulos como componentes básicos de sua teoria como tentativa de proporcionar uma base matemática para todos os números possíveis, podendo, assim, construir segmentos com medidas $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, etc.

Popper, baseado no fato de que $\sqrt{2}$ mais raiz de 3 é aproximadamente $\pi$, especula se Platão teria pensado que $\pi$ poderia ser expresso como a soma das raízes de $2$ e $3$, o que não deve ser verdade, pois se assim fosse, estaria resolvida a questão da quadratura do círculo.

Já sabemos que o número $\pi$ é impossível de ser representado sob forma de fração entre números inteiros, assim como sua retificação, um problema estudado durante séculos. Uma forma elegante de aproximar π é utilizar a soma:

$$ \pi \approx \sqrt{2} + \sqrt{3} = 3,1462\cdots $$

Vamos ver uma construção geométrica onde podemos obter um segmento com esta medida.

Construção geométrica

Comece descrevendo uma circunferência de raio $r = 1$ com centro O num eixo ortogonal de coordenadas. Trace a semirreta $r_1$ passando pelos ponto $A$ e $B$. O comprimento da hipotenusa $AB$ do triângulo retângulo $AOB$, mede $\sqrt{2}$:

Trace a semirreta $r_2$ ortogonal a $r_1$ em $B$:

Com centro em $B$ descreva uma circunferência de raio $r=OB=1$ e marque o ponto $C$ em $r_2$. O triângulo retângulo $ABC$ tem hipotenusa $AC$ igual a $\sqrt{3}$:

Com centro em $A$, descreva uma circunferência de raio $AC$ e marque como $D$ a intersecção com $r_1$. O segmento $BD$ aproxima $\pi$ a um valor de $3,1462\cdots$

Demonstração algébrica

Sendo o raio $AO = 1$, temos que a hipotenusa $AB$ do triângulo retângulo $AOB$ mede:

$$ AB^2 = 1^2+1^2\\ \ \\ AB^2 = 2\\ \ \\ AB=\sqrt{2} $$

Por construção, o segmento $BC$ mede $1$ e a hipotenusa $AC$ do triângulo retângulo $ABC$ mede:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2\\ \ \\ AC^2 = 2+1\\ \ \\ AC^2=3\\ \ \\ AC=\sqrt{3} $$

Assim, o segmento $BD$ aproxima $\pi$ em duas casas decimais:

$$ \pi \approx BD = \sqrt{2}+\sqrt{3} = 3,14626\cdots $$

Veja mais:

• Uma breve cronologia de pi
• A fórmula de Pick e a aproximação de pi
• Aproximação de pi pelos egípcios