Os gregos antigos, desde a época de Arquimedes, calculavam áreas de polígonos por meio de comparação com a área de um quadrado conhecido. Essas construções eram realizadas por compasso e régua não-graduada. Esses tipos de problemas eram conhecidos como quadratura.
Para construir um quadrado cuja área seja igual a um retângulo dado, conhecidos seus lados, procedemos como se segue:
1) Seja o retângulo ABCD. Com centro em D descreva uma circunferência de raio CD.
2) Prolongue o segmento AD cortando o círculo em N.
3) Encontre o ponto médio do segmento AN e marque como M.
4) Com centro em M, descreva uma circunferência de raio AM.
5) Trace a perpendicular a AM por D e marque o ponto E na circunferência maior.
6) Construa um quadrado sobre o segmento DE. Este quadrado terá a mesma área do retângulo ABCD.
Demonstração:
A área do retângulo é dada por:
Da figura, temos:
e
Assim:
Do triângulo retângulo MDE, temos que:
Mas ME = AM, logo:
Como a área do quadrado DEFG é dada por DE2, fica demonstrado que sua área é igual a área do retângulo:
Veja mais:
A Quadratura do Triângulo
A Quadratura do Círculo pelo Método de Ernest Hobson
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo
A Área do Retângulo no blog Fatos Matemáticos
Oi, Kleber!
ResponderExcluirMuito bacana a relação entre estas figuras. A quadratura era uma coisa muita almejada pelos antigos, não é? Eu fiz seu desenho no papel e refiz seus cálculos. Um bom exemplo para um professor ministrar aulas como revisão de áreas de figuras planas e teorema de pitágoras. Parabéns.
Um abraço!
Olá Aloísio,
ExcluirOs três problemas clássicos foram estudados por toda a história da matemática, pois a partir deles, trouxeram novos problemas interessantes. Todos queriam encontrar uma solução. Esse é um problema interessante, pois as transformações são entre quadriláteros. Parece que funciona com paralelogramo também, vou tentar fazer um post sobre ele.
Um abraço!
Esta construção que usa a relação métrica no triângulo retângulo h^2 = mn é muito interessante pelo fato de compararmos áreas sem medir as figuras com régua graduada. Em sala de aula, é uma excelente atividade no ensino fundamental. Obrigado pelo link compartilhado.
ResponderExcluirOlá Paulo,
ExcluirAtividades como essa deveriam estar incluídas nas aulas de geometria; exploram álgebra, raciocínio lógico, coordenação motora ao trabalharem com o compasso,... realmente as aulas de desenho geométrico deveriam voltar ao currículo escolar.
Grande abraço!
Olá. Kleber!!!!
ResponderExcluirGostei dessa "quadratura"... estabelecendo um equilíbrio estre as área desses quadriláteros!!!!
Quer dizer que, imagino, se colocarmos ambas figuras confeccionadas com um material homogênico quimicamente e disposto em uma placa de mesma espessura, cada uma em um dos dois pratos de um balança, então, BINGO!!!! A balança ficará em equilíbrio!!!!
Bom, isso é uma maneira indireta de se comprovar a igualdade entre as áreas das figuras, obtidas por esse processo geométrico antigo e curioso realizado pelos gregos!!!!
Uma pergunta: na ilustração as circunferências com centros em D e M citadas no texto... bem, aqui elas aparecem como elipses. Isso é algum defeito de imagem ou perspectiva????
Outra pergunta: Vai ajudar ao Superman????
Aproveito a ocasião para desejar umas Boas Festas e um grandioso Ano Novo para você e a sua família, com muita saúde e paz!!!!
Um abraço!!!!!
Olá Valdir,
ExcluirExatamente: se forem feitos de material homogêneo e de mesma espessura, ficarão em equilíbrio, onde o ponto D é o centro de massa.
As cônicas descritas são circunferências. Acho que seu computador as degenerou em elipses....
Um abraço e boas festas e ótimo 2013 para você e sua família.