20/12/2012

Determinando a distância entre a Terra e a Lua

A Lua (do latim: Luna) é o único satélite natural da Terra, situando-se a uma distância de cerca de $384.405\ km$ do nosso planeta. Seu perigeu máximo é de $356.577\ km$, e seu apogeu máximo é de $406.655\ km$.

Até onde se sabe, existem 214 luas povoando o Sistema Solar.

Os Planetas:
  • Mercúrio possui 0 luas
  • Vênus possui 0 luas
  • Terra possui 1 lua
  • Marte possui 2 luas
  • Júpiter possui 79 luas
  • Saturno possui 82 luas
  • Urano possui 27 luas
  • Netuno possui 14 luas

Os Planetas anões:
  • Ceres possui 0 luas
  • Plutão possui 5 luas
  • Heumea possui 2 luas
  • Makemake possui 1 lua
  • Éris possui 1 luas

A Lua terrestre não é a maior de todo o Sistema Solar – Ganimedes, uma das luas de Júpiter, é a maior – mas nossa Lua continua sendo a maior proporcionalmente em relação ao seu planeta. Com mais de 1/4 do tamanho da Terra e 1/6 de sua gravidade, é o único corpo celeste visitado por seres humanos.

Visto da Terra, o satélite apresenta fases e exibe sempre a mesma face, fato que gerou inúmeras especulações a respeito do teórico lado escuro da Lua, que na verdade fica iluminado quando estamos no período chamado de Lua nova. Seu período de rotação é igual ao período de translação. A Lua não tem atmosfera e apresenta, embora muito escassa, água no estado sólido (em forma de cristais de gelo). Não tendo atmosfera, não há erosão e a superfície da Lua mantém-se intacta durante milhões de anos. É apenas afetada pelas colisões com meteoritos.

É a principal responsável pelos efeitos de maré que ocorrem na Terra, em seguida vem o Sol, com uma participação menor. Pode-se dizer do efeito de maré aqui na Terra como sendo a tendência de os oceanos acompanharem o movimento orbital da Lua, sendo que esse efeito causa um atrito com o fundo dos oceanos, atrasando o movimento de rotação da Terra cerca de $0,002\ s$ por século, e, como consequência, a Lua se afasta de nosso planeta em média $3\ cm$ por ano.

calculando-a-distancia-entre-a-terra-e-a-lua

Calculando a distância entre a Terra e a Lua

Para calcularmos a distância média entre a Terra e a Lua, precisamos saber basicamente o período de órbita da Lua por observações astronômicas, um pouco de geometria euclidiana e aplicar a 3ª Lei de Kepler, validada pela Lei da Gravitação Universal de Newton.

A terceira Lei de Kepler nos diz que:

O quadrado do período de translação do planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita.
$$
\frac{T^2}{D3} = k, \text{ onde }k=\text{constante}
$$
Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o tempo que ele leva para completar uma revolução em torno do Sol. Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

A força centrípeta exercida pela Terra é igual e oposta à força centrífuga da Lua:
$$
F = K_L \cdot \frac{v^2}{r} \tag{1}
$$
onde $v$ é a velocidade linear, $r$ é o raio da trajetória e $M_L$ é a massa da Lua.

Pela Lei da Gravitação Universal de Newton, temos:
$$
F = G \cdot \frac{M_T \cdot M_L}{r^2} \tag{2}
$$
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$
\frac{G\ M_T\ M_L}{r^2} = \frac{M_L\ v^2}{r} \tag{3}
$$
A velocidade média do corpo que orbita em torno de um corpo central é dada por:
$$
v = \frac{2 \pi r}{T} \tag{4}
$$
Substituindo $(4)$ em $(3)$, obtemos:
$$
\frac{G\ M_T\ M_L}{r^2} = \frac{M_L (2\pi r)^2}{rT^2}\\
\ \\
\frac{G\ M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2r}{T^2}\\
\ \\
G\ M_T\ T^2 = 4\pi r^3\\
$$
E por fim:
$$
T^2 = \frac{4\pi^2r^3}{G\ M_T} \tag{5}
$$
E em função do raio:
$$
r^3 = \frac{T^2\ G\ M_T}{4\pi^2} \tag{6}
$$
Vejam que para encontrarmos a distância até a nossa Lua, não necessitamos saber sua massa, apenas a da Terra, que já determinamos em outro artigo (que pode ser conferido clicando aqui), o período de translação da Lua e o valor da constante gravitacional. Sendo assim, temos:
  • Massa da Terra: $M_T = 5,9736 \times 10^{24}\ kg$
  • Constante gravitacional: $G=6,67428 \times 10^{-11}\ Nm^2/kg^2$
  • Período da Lua: $T_{Lua} = 27,32$ dias que é igual a $2,35872 \times 10^6\ s$.

Substituindo esses valores na equação $(6)$, obtemos:
$$
r^3 = \frac{T^2\ G\ M_T}{4\pi^2}\\
\ \\
r^3 = \frac{\left( 2,35872 \times 10^6 s \right)^2 \cdot \left(6,67428 \times 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}\right) \cdot \left(5,9736 \times 10^{24}kg\right)}{4\pi^2}\\
\ \\
r^3 = \frac{221,81624 \times 10^{25}}{4\pi^2}\cdot s^2\cdot\frac{m}{s^2}\cdot kg \cdot \frac{m^2}{kg^2} \cdot kg\\
\ \\
r^3 = \frac{221,81624 \times 10^{25}}{4\pi^2}\ m^3\\
\ \\
r = \sqrt[3]{\frac{221,81624 \times (10^8)^3}{4\pi^2}\ m^3}\\
\ \\
r = 3,83010961 \times 10^8\ m
$$
Ou seja, a Lua encontra-se a cerca de 383 mil quilômetros de distância da Terra.

Mapeamento da gravidade da Lua

As sondas gêmeas da NASA orbitando a Lua geraram o mapa de gravidade de maior resolução de qualquer corpo celeste.

mapa-gravitacional-da-lua-nasa-grail
[Esta imagem mostra as variações no campo gravitacional lunar conforme medido GRAIL da NASA durante a missão de mapeamento principal de março a maio de 2012 e pode ser visto na galeria de imagens da NASA]

Os primeiros resultados científicos da missão Gravity Recovery and Interior Laboratory (GRAIL) saíram em uma publicação da revista Science. As duas sondas gêmeas Ebb e Flow entraram em órbita lunar no início de 2012 em missão por 1 ano, e reuniram um conjunto de dados que disponibilizam uma visão sem precedentes da estrutura e composição interna da Lua, bem como o mais detalhado mapa gravitacional de qualquer objeto do Sistema Solar, incluindo a Terra.

Medidas em micro-ondas precisas entre as sondas, chamado fluxo e refluxo, foram usados ​​para mapear a gravidade lunar com alta precisão e alta resolução espacial. Na imagem acima, o vermelho corresponde a excessos de massa (montanhas, por exemplo) e azuis para deficiências de massa (terras baixas). Nota-se que não há mais detalhes em pequena escala no lado mais distante da Lua (direita) em comparação com o lado mais próximo (esquerdo)onde tem consideravelmente mais pequenas crateras causadas por impactos de meteoros. Dados de Ebb e Flow vai ajudar a fornecer uma melhor compreensão de como a Terra e outros planetas no sistema solar se formou e evoluiu.

Para uma leitura mais detalhada, sugiro acessarem o site Astro PT que fez uma matéria incrível sobre o assunto.

Atlas Lunar

No site https://fullmoonatlas.com/atlas/, encontramos um completo mapa lunar interativo, com mais de 1.000 formações geográficas (incluindo crateras, montanhas, lagos, mares e vales) identificado simplesmente movendo o cursor do mouse sobre o recurso. É necessário ter o Javascript ativado para poder acessar esta função.

mapa-interativo-da-lua

Para explorar a superfície lunar, acessem o Google Moon e acompanhe os passos dos astronautas.

Referências:


Links para este artigo:


Veja mais:


Atualização:

  • Este artigo foi atualizado em 21/04/2021
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Determinando a distância entre a Terra e a Lua. Publicado por Kleber Kilhian em 20/12/2012. URL: . Leia os Termos de uso.


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9 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Uma vez vi em um livro de matemática da oitava série, o cálculo da distância terra lua, sabendo-se o diâmetro da Lua, o diâmetro de uma moeda cobrindo a visão da Lua e a distância do olho à moeda. Pura semelhança de triângulos...

    Não sabia que existia um tal de mapa de gravidade. Pelo que entendi, é um mapa de relevo através da quantidade de massa, não é isso?

    Muito boa a postagem!

    Um abraço.

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    Respostas
    1. Olá Aloísio,

      Esse mapeamento é recente, parece que foi concluído agora no fim do ano. Aparentemente tem a ver com o relevo sim, já que este é identificado por cores, sendo azul as crateras mais profundas. Preciso ler melhor os artigos. Meu inglês não é bom e por isso demoro mais para ler.

      Eu tinha visto alguma coisa sobre a comparação com a moeda há algum tempo atrás, nem me lembrava mais. Vou tentar resgatar esse conceito.

      Obrigado e um grande abraço!

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  2. A Lua sempre fascinou a humanidade desde dos tempos remotos. Podemos afirmar que a vida inteligente em nosso planeta não aconteceria se não fosse a existência da Lua, formada pelo impacto de um grande meteoro há 4,5 bilhões de anos. Digo, porque o sistema Terra-Lua ficou estável, a duração do dia passou de 6 para 24 horas permitindo um período de 8 a 10 horas de para o descanso dos mamíferos. Além disso, foi a Lua que inspirou Isaac Newton a descobrir a gravitação. Este é uma excelente aplicação da Matemática ao mundo das aplicações. Parabéns!

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    Respostas
    1. Olá Paulo, assisti a um programa, não me lembro agora se foi na Discovery ou na History, mas falava exatamente o que você escreveu sobre a duração do dia terrestre; falava sobre o clima, temperatura e os primeiros habitnates. Desde então, muita coisa mudou; a raça humana é muito nova perto da idade da Terra e se houvesse humanos capazes de registrar o que viam lá nos primórdios da Terra, veriam uma Lua cobrindo 1/3 do céu.

      Algumas mentes brilhantes foram capazes de formular conjecturas sobre o Universo e sua evolução. Pode-se dizer que Newton teve um papel fundamental.

      Um abraço!

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    2. Olá amigos.
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨


      Gostaria que os amigos perquisassem este Artigo sobre o Teorema mais famoso de Arquimedes de Siracusa. Arquimedes foi um grande Matemático e geômetra grego. Foi Arquimedes quem descobriu o famoso Fluxo Ricci, assunto tão comentado nos dias de hoje por causa da resolução da Conjectura de Poincaré pelo matemático Grigori Perelman.

      Grigori Perelman, Renri hamilton e outro, ( não lembro o nome), descobriram o segredo que Arquimedes de Siracusa demonstrou no seu Teorema, onde demonstra o volume e a área da Esfera, Cilindro e o Cone.

      Segundo Arquimedes a Área lateral de um Cone representa um ponto na Esfera, ou na Laranja, ou na Terra, etc..

      Esse ponto na superfície da Terra, Laranja, ou na Esfera, os matemáticos contemporâneos chamam de Fluxo de Ricci.

      Até hoje os matemáticos não sabem como Grigori Perelman decobriu o Fluxo de Ricci. Pesquisam, mas, não conseguem encontrar o Fluxo.

      Fiz uma pesquisa Avançada sobre o Fluxo de Ricci com base na demonstração de Arquimedes e fiquei muito contente com a conclusão.

      Vejam o que é um ponto na superfície da Laranja com diâmetro de 5 cm:

      0,0000000157 = (o Fluxo de Ricci na Laranja).

      Vejam o que é um ponto na superfície da Esfera com diâmetro de 10 cm:

      0,0000000314 = (o Fluxo de Ricci na Esfera).

      Vejam o que é um ponto na Superfície da Terra com diâmetro 12756 km:

      0,00000000000004005384 = (Fluxo de Ricci terrestre).

      Vejam o que é um ponto na superfície do Sol com diâmetro 1390000 km:

      0,00043646 = (o Fluxo de Ricci solar).

      Vejam o que é um ponto na superfície da Lua com diâmetro 3476 km:

      0,00001091464 = (Fluxo de Ricci lunar).

      Planeta Vênus. diâmetro = 12104 km:

      0,000003800656 = (Fluxo de Ricci de Vênus).

      Mercúrio; diâmetro = 4880 km:

      0,0000153232 = (Fluxo de Ricci de Mercúrio).

      Marte; diâmetro 6796 km:

      0,000002133944 = (Fluxo de Ricci de Marte).

      Júpiter; diâmetro 142984 km:

      0,0000044896976 = (Fluxo de Ricci de Júpiter).

      Saturno; diâmetro 120536 km:

      0,000000073848304 = (Fluxo de Ricci de Saturno).

      Urano; diâmetro 51118 km:

      0,000016051052 = (Fluxo de Ricci de Urano).

      Netuno; diâmetro 49528 km:

      0,000015551792 = (Fluxo de Ricci de Netuno).

      Plutão; diâmetro 2320 km:

      0,000000072848 = (Fluxo de Ricci de Plutão).

      No momento não posso revelar os cálculos para descobrirmos esses Fluxos de Ricci, mas, tenho certeza que em breve os revelarei para o mundo, ok?

      Atenciosamente,

      edinho silva.

      Édison Martins da Silva.

      Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨



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  3. Muy bien dicho . Está muy, muy claro y meridiano
    !.. Está bien expresado !.

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  4. COMPARANDO COM O DIÂMETRO DAS RODAS DE BICICLETA, É COMO SE A TERRA FOSSE UMA RODA ARO 26 E VÊNUS FOSSE UMA RODA ARO 24... ESTA É A COMPARAÇÃO!!!!!!!

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  5. Olá Kleber, tudo bom?

    Por gentileza, estava vendo esses cálculos,

    e não compreendi por que ao usar essas mesmas formulas não

    teria um resultado razoável para a distancia Sol ~ Terra?

    Massa do Sol: 1,98892^30Kg
    Período Terra: 365 dias.

    Muito obrigado!
    Sílvio Cicoti.


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    Respostas
    1. Olá Sílvio. Vamos nos comunicar por e-mail.

      Abs.

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