Funções trigonométricas inversas: A função arco seno

As funções trigonométricas inversas têm várias aplicações. No Cálculo, especialmente, as funções arco seno e arco tangente foram desenvolvidas para permitir a resolução de certas integrais, tais como:

\begin{equation} \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen}(x) \end{equation}

e

\begin{equation} \int \frac{dx}{1+x^2}=\text{arctg}(x) \end{equation}

Do estudo de trigonometria no Ensino Médio, sabemos, por exemplo, que o $\text{sen}(\pi/6)=1/2$. E se nos pedirem para encontrar um ângulo em radianos cujo seno vale $1/2$, facilmente respondemos que esse ângulo é $\pi/6$. Mas, se analisarmos o círculo trigonométrico, podemos concluir que existem muitos outros ângulos cujo seno vale $1/2$.

Simbolicamente, denotamos um ângulo cujo seno é um dado número $x$ por:

\begin{equation} \text{sen}^{-1}(x) \qquad \text{ou} \qquad \text{arcsen}(x) \end{equation}

Apesar de essas notações serem equivalentes, a segunda é mais usual. A primeira lê-se "o seno inverso de $x$" e a segunda "o arco cujo seno é $x$". No entanto, ambas significam "um ângulo cujo seno é".

Temos que deixar claro que no símbolo $\text{sen}^{-1}(x)$, o $-1$ não é um expoente, de modo que $\text{sen}^{-1}(x)$ não é o mesmo que $1/\text{sen}(x)$.

Para ficar mais claro, podemos pensar assim:

\begin{equation*} x=3y \qquad \text{e} \qquad y=\frac{1}{3}x \end{equation*}

As duas equações têm o mesmo significado. A primeira resolvida para $x$ e a outra resolvida para $y$. Analogamente, temos:

\begin{equation} x=\text{sen}(y) \qquad \text{e} \qquad y=\text{arcsen}(x) \end{equation}

O gráfico da função inversa $f^{-1}$ de uma função $f$ é obtido pela simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$.

Entretanto, para que $f$ tenha realmente uma função inversa, a simetria do gráfico de $f$ em relação à reta $y=x$ não pode passar sob si mesma.

O gráfico da função seno forma um padrão que se repete indefinidamente por ser periódica:

Quando este gráfico é refletido sobre a reta $y=x$, o gráfico resultante passa repetidamente sob si mesmo:

Fica claro que $y$ existe somente quando $x$ está no intervalo $-1\leq x \leq 1$. Mas para qualquer valor de $x$ nesse intervalo, existem infinitos valores de $y$ correspondentes. Para que $y=\text{arcsen}(x)$ seja considerada uma função, essa situação não pode ser permitida.

No entanto, a função seno é monotonamente crescente no intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$, logo, nesse intervalo, ela tem uma inversa. Por meio de um acordo universalmente aceito, os únicos valores de $y=\text{arcsen}(x)$ que consideramos são aqueles no intervalo $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$. É essa restrição que dá significado ao símbolo $y=\text{arcsen}(x)$, e seu gráfico fica assim:

Temos que deixar claro que para o símbolo $\text{arcsen}$, a terminologia não é totalmente correta, pois a função seno não tem inversa se definida em todo $\mathbb{R}$. Logo, o $\text{arcsen}$ não é estritamente a inversa da função seno como um todo, mas a inversa da porção da função cujo gráfico está no intervalo $-\pi/2 \leq x \leq \pi/2$.

Para a derivada $dy/dx$ da função $\text{arcsen}(x)$, tomamos inicialmente a derivada da função seno:

\begin{equation} x=\text{sen}(y) \end{equation}

Derivamos implicitamente em relação a $x$, obtendo:

\begin{equation*} 1=\cos(y)\frac{dy}{dx} \end{equation*}

Manipulando esse resultado:

\begin{equation*} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}} \end{equation*}

Mas, por $(5)$, $x=\text{sen}(y)$, logo:

\begin{equation} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation}

Como a função $\text{arcsen}(x)$ é crescente, tomamos a raiz quadrada positiva.

A partir do resultado acima, obtemos uma extensão pela regra da cadeia:

\begin{equation} \frac{d}{dx}\text{arcsen}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx} \end{equation}

sendo $u$ qualquer função derivável de $x$.

🔗 Leia os artigos:

• Derivada da função inversa arco seno
• Resolução da função inversa arco seno

Exemplo 1:

Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(4x)$.

Utilizaremos a fórmula dada em $(7)$, fazendo $u=4x$:

\begin{equation*} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\frac{d}{dx}(4x)=\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} \end{equation*}

Exemplo 2:

Calcular $dy/dx$ para $y=\text{arcsen}(x^3)$.

Fazemos $u=x^3$:

\begin{equation*} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\frac{d}{dx}(x^3)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}} \end{equation*}

Podemos obter a integral em $(1)$ simplesmente invertendo a fórmula de diferenciação para a função arco seno. Assim:

\begin{equation} \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsen} (x)+C , \forall \mid x \mid \lt 1 \end{equation}

vem diretamente da fórmula de derivada de $\text{arcsen}(x)$. Podemos generalizar $(8)$ como:

\begin{equation} \int \frac{du}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left( \frac{x}{a} \right)+C, \forall a>0 \text{ e} \mid x \mid \lt a \end{equation}

Para a prova de $(9)$, fazemos a substituição $x=au$, de modo que $dx=a\ du$. Assim:

\begin{equation*} I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \ \\ I =\int \frac{a\ du}{\sqrt{a^2-a^2u^2}}\\ \ \\ I =\int \frac{a\ du}{\sqrt{a^2}\sqrt{1-u^2}}\ \\ \ \\ I =\int \frac{a\ du}{a\sqrt{1-u^2}}\\ \ \\ I=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\ \ \\ I=\text{arcsen}(u)+C \end{equation*}

Mas $u=x/a$, logo:

\begin{equation} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+C \end{equation}

Exemplo 3:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Fazemos $u=3x$ e $du=3dx$. Assim:

\begin{equation*} I = \int \frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}\\ \ \\ I=\frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\ \ \\ I =\frac{1}{3} \text{arcsen}(u)+C\\ \ \\ I =\frac{1}{3}\text{arcsen}(3x)+C \end{equation*}

Exemplo 4:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$.

Podemos reescrever a integral como:

\begin{equation*} \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}} \end{equation*}

E aplicando a fórmula $(9)$, obtemos:

\begin{equation*} I = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2-x^2}}\\ \ \\ I =\text{arcsen}\left(\frac{x}{3}\right)+C \end{equation*}

Exemplo 5:

Calcular a integral $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Fazemos $u=4x$ e $du=4dx$. Assim:

\begin{equation*} I = \int \frac{dx}{\sqrt{1-(4x)^2}}\ \\ I =\frac{1}{4}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\ \ \\ I =\frac{1}{4}\text{arcsen}(4x)+C \end{equation*}

Referências:

• Cálculo V1 - Munem-Foulis
• Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons

Veja mais:

• Integração por Substituição Trigonométrica
• Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
• Fórmulas de redução para integrais