10/09/2022

Derivada da função inversa arco seno $\text{sen}^{-1}(x)$

Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função inversa arco seno, onde:
$$
\frac{d}{dx} \text{sen}^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Para derivadas de funções inversas, uma forma de resolver é utilizar a diferenciação implícita juntamente com a regra da cadeia, porque assim não precisamos empregar outras derivadas de funções inversas no processo.

A diferenciação implícita permite encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$.

derivada do arco seno, derivada do arcoseno, derivada funcoes inversas

A função $\text{arco seno}$ de $x$ é a função inversa da função $\text{seno}$ de $x$ e  pode ser representada como:
$$
f(x)=\text{arcsen} (x) \qquad \text{ou} \qquad f(x)=\text{sen}^{-1}(x)
$$
O que esta função quer dizer é: quais são os arcos que possuem o seno igual a $x$?

Dada uma função $f(x) = \text{sen}^{-1}(x)$, fazemos:
$$
\text{sen}(y)=x \tag{1}
$$
Iniciamos derivando (implicitamente) termo a termo a equação:
$$
\frac{d}{dx}\ \text{sen}(y) = \frac{d}{dx}\ x
$$
Obtendo:
$$
\cos (y)\ \frac{dy}{dx} = 1 \tag{2}
$$$$
\text{sen}^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\
\ \\
\cos^2(\theta) = 1- \text{sen}^2(\theta)\\
\ \\
\cos(\theta) = \sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}
$$
Fazendo $y=\theta$, substituímos $\cos(y)$ na relação $(2)$, obtendo:
$$
\sqrt{1- \text{sen}^2(y)}\ \frac{dy}{dx} = 1
$$
O que nos leva a:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}} \tag{3}
$$
Agora, substituímos a relação $(1)$ em $(3)$ para finalmente obter:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Então, se:
$$
y = \text{sen}^{-1}(x)\\
\ \\
y^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Derivada da função inversa arco seno $\text{sen}^{-1}(x)$. Publicado por Kleber Kilhian em 10/09/2022. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

Postar um comentário

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog