Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função inversa arco seno, onde:
$$\frac{d}{dx} \text{sen}^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Para derivadas de funções inversas, uma forma de resolver é utilizar a diferenciação implícita juntamente com a regra da cadeia, porque assim não precisamos empregar outras derivadas de funções inversas no processo.
A diferenciação implícita permite encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$.
A função $\text{arco seno}$ de $x$ é a função inversa da função $\text{seno}$ de $x$ e pode ser representada como:
$$f(x)=\text{arcsen} (x) \qquad \text{ou} \qquad f(x)=\text{sen}^{-1}(x)
$$
O que esta função quer dizer é: quais são os arcos que possuem o seno igual a $x$?
Dada uma função $f(x) = \text{sen}^{-1}(x)$, fazemos:
$$\text{sen}(y)=x \tag{1}
$$
Iniciamos derivando (implicitamente) termo a termo a equação:
$$\frac{d}{dx}\ \text{sen}(y) = \frac{d}{dx}\ x
$$
Obtendo:
$$\cos (y)\ \frac{dy}{dx} = 1 \tag{2}
$$
A relação trigonométrica fundamental nos garante que:
$$\text{sen}^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\
\ \\
\cos^2(\theta) = 1- \text{sen}^2(\theta)\\
\ \\
\cos(\theta) = \sqrt{1-\text{sen}^2(\theta)}
$$
Fazendo $y=\theta$, substituímos $\cos(y)$ na relação $(2)$, obtendo:
$$\sqrt{1- \text{sen}^2(y)}\ \frac{dy}{dx} = 1
$$
O que nos leva a:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\text{sen}^2(y)}} \tag{3}
$$
Agora, substituímos a relação $(1)$ em $(3)$ para finalmente obter:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Então, se:
$$y = \text{sen}^{-1}(x)\\
\ \\
y^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Postar um comentário