27/02/2022

Derivada da função inversa arcocosseno $\cos^{-1}(x)$

Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função inversa arcocosseno, onde:
$$
\frac{d}{dx} \cos^{-1}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Para derivadas de funções inversas, uma forma de resolver é utilizar a diferenciação implícita juntamente com a regra da cadeia, porque assim não precisamos empregar outras derivadas de funções inversas no processo.

A diferenciação implícita permite encontrar a derivada de uma equação sem que esta esteja resolvida para $y$.

derivada-da-funcao-arcocosseno

A função $\text{arcocosseno}$ de $x$ é a função inversa da função $\text{cos}$ de $x$ e  pode ser representada como:
$$
f(x)=\arccos (x) \qquad \text{ou} \qquad f(x)=\cos^{-1}(x)
$$
O que esta função quer dizer é: quais são os arcos que possuem o cosseno igual a $x$?

Dada uma função $f(x) = \cos^{-1}(x)$, fazemos:
$$
\cos(y)=x \tag{1}
$$
Iniciamos derivando (implicitamente) termo a termo a equação:
$$
\frac{d}{dx}\ \cos(y) = \frac{d}{dx}\ x
$$
Obtendo:
$$
-\text{sen}(y)\ \frac{dy}{dx} = 1 \tag{2}
$$$$
\text{sen}^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\
\ \\
\text{sen}^2(\theta) = 1- \cos^2(\theta)\\
\ \\
\text{sen}(\theta) = \sqrt{1-\cos^2(\theta)}
$$
Fazendo $y=\theta$, substituímos $\text{sen}(y)$ na relação $(2)$, obtendo:
$$
-\sqrt{1- \cos^2(y)}\ \frac{dy}{dx} = 1
$$
O que nos leva a:
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(y)}} \tag{3}
$$
Agora, substituímos a relação $(1)$ em $(3)$ para finalmente obter:
$$
\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
Então, se:
derivada-da-guncao-arcocosseno

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Derivada da função inversa arcocosseno $\cos^{-1}(x)$. Publicado por Kleber Kilhian em 27/02/2022. URL: . Leia os Termos de uso.


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