O Papiro de Moscou também é chamado de Papiro Matemático de Golenishchev, em homenagem ao seu primeiro proprietário não-egípcio, o egiptólogo Vladmir Semenovich Golenishchev (1856-1947), que o comprou em 1892/93 em Tebas e que hoje e considerado um dos objetos mais importantes da coleção do Museu Estatal de Belas Artes de Pushkin, em Moscou.
Com base na paleografia e ortografia do texto hierático cursivo, provavelmente tenha sido escrito aproximadamente em 1850 a.C., durante a 12ª Dinastia do Egito. Possui cerca de 5,44 m de comprimento e sua largura varia de 4 a 7 cm. Seu formato foi dividido em 25 problemas com soluções pelo orientalista Vasily Vaslievich Struve, em 1930.
O Papiro de Moscou é cerca de 200 anos mais antigo do que o outro famoso papiro matemático, conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes.
Os 25 problemas do Papiro de Moscou
A maioria dos problemas encontrados no Papiro de Moscou são relacionados à aplicação da Geometria, outros de pesos e medidas, mas, infelizmente, alguns problemas estão ilegíveis.
- Danificado e ilegível.
- Danificado e ilegível.
- Comprimento de uma vara.
- Área de um triângulo.
- Peso de pães.
- Encontrar a base e a altura de um retângulo.
- Encontrar a base e a altura de um triângulo.
- Peso de pães.
- Peso de pães.
- Área de uma superfície curva de um cilindro ou hemisfério.
- Pães e cesta. Não está claro qual é o problema.
- Peso de cerveja.
- Peso de pães e cerveja.
- Volume de um tronco de pirâmide.
- Peso de cerveja.
- Peso de cerveja.
- Encontrar a base e a altura de um triângulo.
- Pano de medição em côvados e palmas.
- Resolução da equação $x + 4 = 10$.
- Peso de 1.000 pães.
- Mistura de pão.
- Peso de pães e cerveja.
- Calculando o trabalho de um sapateiro.
- Troca de pães e cerveja.
- Resolução da equação $2 x + x = 9$.
Dos 25 problemas, os que merecem destaque são os problemas de número 10 e 14.
O problema 10 do Papiro de Moscou
O décimo problema do Papiro de Moscou pede para calcular a área de uma superfície de um hemisfério ou possivelmente a área de um semicilindro e pode ter sido o primeiro caso conhecido na história sobre a determinação de uma superfície curva, o que exigia utilizar o número $\pi$ no cálculo. Em uma época em que todo o Ocidente considerava $\pi=3$, os egípcios utilizavam:
$$\pi = \left( \frac{16}{9} \right)^2 \approx 3,16
$$
O texto do problema 10 foi traduzido assim:
"Exemplo de cálculo de uma cesta: Você recebe uma cesta com uma boca de $4\cfrac{1}{2}$. Qual a superfície? Pegue $\cfrac{1}{9}$ de $9$, já que a cesta é metade de um ovo. Você obtém $1$. Calcule o resto que é $8$. Calcule $\cfrac{1}{8}$ de $8$. Você obtém $\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{18}$. Encontre o restante deste $8$ depois de subtrair $\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{18}$. Você obtém $7+\cfrac{1}{9}$. Multiplique $7+\cfrac{1}{9}$ por $4\cfrac{1}{2}$. Você obtém $32$. Veja que esta é a área da cesta. Você encontrou corretamente."
A solução equivale a calcular a área como:
$$\text{Área}=\left( \frac{2\times8}{9}\right)^2 \times \left( \text{Diâmetro}\right)^2\\
\ \\
\text{Área} = \frac{256}{81} \left(\text{Diâmetro}\right)^2
$$
Isso significa que o escriba do Papiro de Moscou utilizou a aproximação de $\pi$ como:
$$\pi = \frac{256}{81} \approx 3,16049
$$
A ideia utilizada para a aproximação de pi pelos egípcios, antecipa os Gregos em mais de um milênio na ideia correta de aproximar um círculo por meio de polígonos.
O problema 14 do Papiro de Moscou
A maior atenção dos egiptólogos e matemáticos é atraída pelo décimo quarto problema do Papiro de Moscou, pois sua própria existência indica que os egípcios foram capazes de encontrar volumes, não apenas de tetraedros, mas também de troncos de pirâmides, ou pirâmides truncadas.
O problema 14 do Papiro de Moscou é sobre como calcular o volume de um tronco de pirâmide e foi traduzido como:
"Se lhe disserem: Aqui está uma pirâmide de $6$ de altura, com um lado abaixo de $4$ e no topo de $2$. Calcule o quadrado de $4$, encontrando $16$. Dobre $4$, obtendo $8$. Calcule o quadrado de $2$. Isso será $4$. Some esses $16$, $8$ e $4$, encontrando $28$. Calcule $1/3$ de $6$. Isso será $2$. Conte $28$ duas vezes. Vai ser $56$. Olha, é $56$, você acertou."
Uma solução moderna deste problema pode ser descrita como: Dado um tronco de pirâmide com bases quadradas, cujos lados das bases maior e menor, dadas por $a$ e $b$ são, respectivamente, $4$ e $2$ unidades, com uma altura $h$ igual a $6$ unidades. Calcular o volume deste sólido.
A fórmula para o volume de um tronco de pirâmide é dada por:
$$V = \frac{1}{3}h \left( A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b}+A_b\right)
$$
No caso de uma pirâmide de base quadrada, a fórmula se resume a:
$$V = \frac{1}{3} h \Big( a^2 + ab + b^2 \Big)
$$
Aplicando os dados do problema egípcio na fórmula acima, encontramos:
$$V = \frac{1}{3} 6 \Big( 4^2+4\cdot 2 + 2^2 \Big)\\
\ \\
V = 56
$$
Como os egípcios chegaram a esta fórmula permanece desconhecido, mas o fato é que conseguiam calcular volumes de troncos de pirâmide com precisão, enquanto os babilônios, para resolver o mesmo problema, encontravam apenas uma aproximação com a fórmula:
$$V = \frac{1}{2} h \Big(a^2+b^2\Big)
$$
que, aplicando no problema acima, obtém uma aproximação ruim: $V=40$.
Apesar da sofisticação para resolver este problema seja muito boa, para outros problemas do papiro não trazem resultados corretos, como áreas de figuras planas, que são, relativamente mais simples, o que faz pensar que os egípcios simplesmente tropeçaram nessa fórmula em particular.
Segundo a tradição, o deus Thoth, era o deus egípcio da magia e de todos os ramos de sabedoria e das artes, a quem se atribuía a invenção da escrita hieroglífica, associado à Lua, teria dado aos egípcios o calendário, a astronomia e a matemática. Posteriormente foi identificado como o deus grego Hermes, que mais tarde foi chamado de Hermes Trismegisto (três vezes grandíssimo), o suposto autor das obras herméticas que revelavam o conhecimento secreto dos antigos. Mesmo em 1600 d.C., essas ideias eram influentes na Europa, onde, Isaac Newton, por exemplo, era devoto de estudos herméticos e parece ter acreditado que suas próprias descobertas, como o Cálculo, Gravitação Universal e outras, estavam no corpo de conhecimento secreto transmitido por Thoth!
Adorei ler o post meu amigo!
ResponderExcluirAbração!
Fico feliz em saber! obrigado por dedicar parte de seu tempo para a leitura!
ExcluirEsse tipo de artigo eu adoro escrever!
Um abraço!
Escreva um para mim. Será bem pago! kkkk
ResponderExcluirFarei!
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