Vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b) x]}{2 (a+b)}
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes, tal que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq |b|$.
Demonstração:
Pelas fórmulas de somas de ângulos, temos:\begin{equation}
\cos(m+n) = \cos(m) \cos(n) - \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(m-n) = \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m) \text{sen}(n)
\end{equation}
Subtraindo $1$ de $2$, vem que:
\begin{equation*}
\cos(m-n) - \cos(m+n) = \cos(m)\cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n) \\- \cos(m) \cos(n) + \text{sen}(m)\text{sen}(n)\\
\cos(m-n)-\cos(m+n) = 2~\text{sen}(m)\text{sen}(n)
\end{equation*}
Fazendo $m=ax$ e $n=bx$, obtemos:
\begin{equation*}
\cos(ax-bx) - \cos(ax+bx) = 2~\text{sen}(ax)\text{sen}(bx)\\
\frac{1}{2}\cos[(a-b)x] -\frac{1}{2}\cos[(a+b)x] = \text{sen}(ax)\text{sen}(bx)
\end{equation*}
Integrando ambos os lados, na variável $x$:
\begin{equation*}
L=\frac{1}{2} \int \cos [(a-b)x]dx - \frac{1}{2} \int \cos[(a+b)x]dx = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx
\end{equation*}
\begin{equation}
L=\frac{1}{2}(I-J) = \int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx)dx\\
\end{equation}
onde:
\begin{equation}
I = \int \cos[(a-b)x]dx
\end{equation}
e
\begin{equation}
J = \int \cos [(a+b)x]dx
\end{equation}
Seja $u(x) = (a-b)x$. Derivamos o monômio de grau um para utilizarmo-nos do teorema da derivada da função inversa na integral $I$:
\begin{equation*}
u'(x) = a-b \Longrightarrow x'(u) = \frac{dx}{du} = \frac{1}{(a-b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{du}{du}$, o que não altera o resultado da expressão, obtemos:
\begin{equation*}
I = \int \cos [(a-b)x]dx = \int \cos(u)\frac{du}{du} dx = \int \cos (u) \frac{dx}{du} du \\
I = \int \cos(u) \frac{1}{(a-b)} du
\end{equation*}
Lembrando-nos do fato de que $(a-b)$ é uma constante, pois $a$ e $b$ também os são, o inverso da constante também deve ser, contanto que exista, ou seja $a-b \neq 0 \Longrightarrow a\neq b$.
A primeira integral se resume a:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos (u) du
\end{equation}
Chegamos à simples expressão da integral da função cosseno, que em uma breve consulta às tabelas de integrais notáveis, verificamos que deve ser igual à função seno, mantendo o argumento. Daí:
\begin{equation}
I = \frac{1}{(a-b)} \int \cos(u)du = \frac{1}{(a-b)} \text{sen}(u) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{(a-b)} + C_1
\end{equation}
Faremos o mesmo processo para encontrar a integral $J$.
Seja $v(x) = (a+b)x$. Assim:
\begin{equation*}
v'(x) = a+b \Longrightarrow x'(v) = \frac{dx}{dv} = \frac{1}{(a+b)}
\end{equation*}
Multiplicando o diferencial por $\displaystyle 1 = \frac{dv}{dv}$, obtemos:
\begin{equation*}
J = \int \cos[(a+b)x]dx = \int \cos(v)\frac{dv}{dv} dx = \int \cos (v) \frac{dx}{dv} dv\\
J = \int \cos(v) \frac{1}{(a+b)}dv = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv
\end{equation*}
Integrando obtemos:
\begin{equation}
J = \frac{1}{(a+b)} \int \cos(v)dv = \frac{1}{(a+b)} \text{sen}(v) = \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{(a+b)} + C_2
\end{equation}
Novamente devemos verificar as condições de existência da constante. Uma rápida verificação nos mostra que $a+b \neq 0 \Longrightarrow a \neq -b$.
Unindo as relações $(7)$ e $(8)$ na integral $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax) \text{sen}(bx) = \frac{1}{2}(I-J) = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} - \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)} + C
\end{equation*}
Autor: Mikael Marcondes
Graduação em Física pela USP e
Técnico em Eletrônica
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