28/06/2015

Resolução da integral $\int \frac{1}{a-bx}dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$ e $b \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a-bx}dx
\end{equation*}
Fazemos a substituição $u = a-bx$. Assim, $du= - b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{du}{b}$:
\begin{equation*}
I = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{b}\\
\ \\
I = -\frac{1}{b} \int \frac{1}{u}du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{1}{b} \ln(u)+C
\end{equation*}
Mas $u=a-bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{b} \ln(a-bx) + C\\
\ \\
I = - \frac{\ln(a-bx)}{b}+C
\end{equation*}


Veja mais:

Lista de resolução e integrais
Integração por substituição
Integração por partes





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