07/07/2015

Resolução da integral $\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$.


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a} dx
\end{equation*}
Fatoramos as constantes:
\begin{equation*}
I =  \frac{1}{a} \int e^{-bx}dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle e^{-bx}$, fazemos a substituição $u = -(bx)$. Assim, $du = -b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{b}du$:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{ab} \int e^u du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{e^u}{ab} + C
\end{equation*}
Mas $u = -bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C
\end{equation*}
Se $a=b=1$, então temos:
\begin{equation*}
I = -e^{-x}+C
\end{equation*}


Veja mais:

Lista de resolução e integrais
Integração por substituição
Integração por partes


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