Resolução da integral $\displaystyle \int \cos^2(ax)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \cos^2(ax)\ dx = \frac{x}{2} + \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C
\end{equation*}
onde $a \in  \mathbb{R}$ e $a \neq 0$.

Seja a integral:

\begin{equation*}
I = \int \cos^2(ax)\ dx
\end{equation*}

Para o integrando $\cos^2(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:

\begin{equation}
I = \frac{1}{a} \int \cos^2(u)\ du
\end{equation}

Para continuarmos a resolução, relembremos as seguintes identidades trigonométricas:

\begin{equation}
\text{sen}^2 (u) = 1-\cos^2 (u)
\end{equation}
e
\begin{equation}
\cos(2u) = \cos^2(u)-\text{sen}^2(u)
\end{equation}

Substituindo $(2)$ em $(3)$, obtemos:

\begin{equation*}
\cos(2u) = \cos^2(u) - 1 + \cos^2(u)\\
\ \\
\cos(2u) = 2\ \cos^2(u)-1\\
\ \\
2\ \cos^2(u) = 1 + \cos(2u)\\
 \end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\cos^2(u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2u)
\end{equation}
Agora, substituímos $(4)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2u)\right)\ du
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2a} \int du + \frac{1}{2a} \int \cos (2u)\ du\\
\ \\
I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{2a} \int \cos(2u)\ du
\end{equation*}

Para o integrando $\cos(2u)$, fazemos a substituição $v = 2u$. Assim, $dv = 2\ du$ e $\displaystyle du = \frac{1}{2} dv$:

\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \int \cos(v)\ dv
\end{equation*}
A integral de $\cos(v)$ é $\text{sen}(v)$:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \text{sen}(v) + C
\end{equation*}
Mas, $v=2u$, assim:
\begin{equation*}
I = \frac{u}{2a} + \frac{1}{4a} \text{sen}(2u) + C
\end{equation*}
E $u=ax$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \text{sen}(2ax) + C
\end{equation*}

Exemplo 1:

Seja $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=\cos^2(x)$. Calcular a área hachurada entre as curvas, no intervalo de $x=0$ a $x=\pi/2$.

A área hachurada é dada pela diferença das áreas de $f(x)$ e $g(x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$:

\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi/2} f(x)\ dx - \int_0^{\pi/2} g(x)\ dx\\
\ \\
A = \int_0^{\pi/2} \cos(x)\ dx - \int_0^{\pi/2} \cos^2(x)\ dx
\end{equation*}

A integral de $\cos(x)$  é $\text{sen}(x)$ e a integral de $\cos^2(x)$ é dada pela fórmula $(5)$, assim:

\begin{equation*}
A = \bigg[\text{sen}(x)\bigg]_0^{\pi/2} - \left[ \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\text{sen}(2x)\right]_0^{\pi/2}\\
\ \\
A = \bigg[\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\text{sen}(0)\bigg] -\left[ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\text{sen}(\pi) \right) - \left(\frac{1}{2} \text{sen}(0) \right) \right]\\
\ \\
A = 1-\frac{\pi}{4} \approx 0,2146\ u.a.
\end{equation*}

Resposta: A área da porção hachurada no gráfico vale aproximadamente $0,2146$ unidades de área.

Exemplo 2:

Seja $f(x)=\cos(x)$ e $\displaystyle g(x)=\cos ^2 \left(\frac{x}{2}\right)$. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.

Simplificando o problema, aplicamos limeites de integração para $g(x)$ de $0$ a $\pi$ e para $f(x)$ de $0$ a $\pi/2$. Em seguida multiplicamos por $2$, devido à simetria das curvas. Sendo assim, a área desejada é dada pela diferença das áreas de $g(x)$ no intervalo de $0$ a $\pi$ e $f(x)$ no intervalo de $0$ a $\pi/2$, multiplicado por $2$.

\begin{equation*}
A = 2 \int_0^{\pi} g(x)\ dx - 2 \int_0^{\pi/2} f(x)\ dx\\
\ \\
A = 2 \int_0^{\pi} \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\ dx - 2 \int_0^{\pi/2} \cos(x)\ dx
\end{equation*}

A integral de $cos^2(x/2)$ é dada pela expressão $(5)$, considerando $a=1/2$. A integral de $\cos(x)$ é $\text{sen}(x)$. Assim:

\begin{equation*}
A = 2\bigg[ \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\text{sen}(x)\bigg]_0^{\pi} - 2\bigg[ \text{sen}(x) \bigg]_0^{\pi/2}\\
\ \\
A = \pi\ -2\\
\ \\
A \approx 1,14159265\ u.a.
\end{equation*}

Resposta: A área da porção hachurada no gráfico vale aproximadamente $1,1419265$ unidades de área.

Link do artigo:

• http://bit.ly/int_cos2ax

Veja mais:

• Lista de resolução de integrais
• Integração por substituição
• Integração por partes