04/03/2018

Área do círculo calculada por integral

A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos equidistantes a um ponto fixo denominado centro, denotado por $O$. Todos os pontos que compõem a circunferência possuem a mesma distância ao centro. Essa distância é denominada raio, denotada por $r$. O círculo é o conjunto de todos os pontos que estão no interior da circunferência.
Vimos em outra ocasião, como encontrar a área do círculo utilizando o conceito de limites. A seguir, veremos como obter a tão famosa expressão para a área de um círculo: $A=\pi r^2$ utilizando o cálculo integral.

Área do círculo calculada por integral

Para calcular a área de um círculo de raio $r$, iniciamos com a equação reduzida da circunferência, dada por:
\begin{equation*}
x^2+y^2=r^2
\end{equation*}
Isolamos o $y$:
\begin{equation*}
y^2 = r^2 - x^2\\
\ \\
y=\pm \sqrt{r^2-x^2}
\end{equation*}
As áreas das regiões entre o eixo dos $x$ e do gráfico de $\displaystyle y = \sqrt{r^2-x^2}$ e de $\displaystyle y = -\sqrt{r^2-x^2}$ são as áreas dos semicírculos superior e inferior, respectivamente, ao eixo dos $x$, de modo que a área do círculo de raio $r$ será dada pela soma das áreas dos semicírculos. Podemos expressar pela integral:
\begin{equation*}
A = \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\ dx - \int_{-r}^{r} - \sqrt{r^2-x^2}\ dx\\
\ \\
A = \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\ dx + \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\ dx\\
\ \\
A = 2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\ dx
\end{equation*}
Mas podemos tomar apenas um quarto do círculo. Desta forma, simplificamos a integral como:
\begin{equation*}
A = 4\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\ dx
\end{equation*}
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \sqrt{r^2-x^2}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $x=r\ \text{sen}(u)$ e $dx=r\ \cos(u)\ du$:
\begin{equation*}
I = \int \sqrt{r^2-r^2\ \text{sen}^2(u)} \cdot r\ \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \int \sqrt{r^2\left( 1-\text{sen}^2(u)\right)} \cdot r\ \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \int \sqrt{r^2\ \cos^2(u)} \cdot r\ \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \int r\ \cos(u) \cdot r\ \cos(u)\ du\\
\ \\
I = \int r^2\ \cos^2(u)\ du\\
\ \\
I = r^2 \int \cos^2(u)\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \cos^2(u)$ é $\displaystyle \frac{u}{2} + \frac{\text{sen}(2u)}{4}$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{r^2}{2} \left[ u + \frac{\text{sen}(2u)}{2} \right] + C
\end{equation*}
Mas, $\displaystyle u = \text{arcsen}\left(\frac{x}{r}\right)$, então:
\begin{equation*}
I  = \frac{r^2}{2} \left[ \text{arcsen}\left(\frac{x}{r}\right)+\frac{x}{r}\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\  \right] + C
\end{equation*}
Desta forma, se aplicarmos os limites de integração de $0$ a $r$, obteremos:
\begin{equation*}
A = 4\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}\ dx\\
\ \\
A = 2r^2 \left[ \text{arcsen}\left(\frac{x}{r}\right)+\frac{x}{r}\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}\  \right]_0^r\\
\ \\
A = 2r^2 \text{arcsen}(1)
\end{equation*}
O arco cujo seno vale $1$ é $\pi/2$. Logo:
\begin{equation*}
A = 2r^2 \cdot \frac{\pi}{2}\\
\ \\
A = \pi r^2
\end{equation*}
Se o raio da circunferência mede $1$, então a área do círculo contido nesta circunferência vale $\pi$ unidades de área.

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