Prova de que a soma dos primeiros n inteiros ímpares é um quadrado

Um teorema muito bonito de se observar geometricamente é o de que a soma dos primeiros $n$ inteiros ímpares é um quadrado.

Os números naturais ímpares são $1$, $3$, $5$, $7$, $\cdots$ Podemos representá-los através de quadrados:

Esse padrão segue infinitamente e, apesar de parecer verdadeiro, seria apenas uma conjectura se não pudesse ser demonstrado.

Teorema: A soma dos primeiros $n$ inteiros ímpares é um quadrado.

Todo número ímpar pode ser escrito como: $I = 2n-1$. Assim:

• Para $n=1$, temos $I=1$
• Para $n=2$, temos $I=3$
• Para $n=3$, temos $I=5$
• Para $n=4$, temos $I=7$

Para provar esse teorema, podemos utilizar a fórmula para a soma dos $n$ termos de uma progressão aritmética, pois a sequência de números ímpares consecutivos é uma P.A. de razão $2$:

$$
S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}
$$

Como o primeiro termo da sequência é $1$, fazemos $a_1=1$. Assim:

$$
S_n = \frac{(1+a_n)n}{2}
$$

E como o enésimo número ímpar é dado por $2n-1$, fazemos a substituição:

$$
S_n = \frac{(1+2n-1)n}{2}\\
\ \\
S_n = \frac{2n^2}{2}\\
\ \\
S_n = n^2
$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/soma-impares-quadrado
• https://www.obaricentrodamente.com/2020/04/prova-de-que-soma-dos-primeiros-n-inteiros-impares-e-um-quadrado.html

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