27/04/2020

Prova de que a soma dos primeiros n inteiros ímpares é um quadrado

Um teorema muito bonito de se observar geometricamente é o de que a soma dos primeiros $n$ inteiros ímpares é um quadrado.

Os números naturais ímpares são $1$, $3$, $5$, $7$, $\cdots$ Podemos representá-los através de quadrados:

Prova de que a soma dos primeiros n inteiros ímpares é um quadrado


Esse padrão segue infinitamente e, apesar de parecer verdadeiro, seria apenas uma conjectura se não pudesse ser demonstrado.

Teorema: A soma dos primeiros $n$ inteiros ímpares é um quadrado.

Todo número ímpar pode ser escrito como: $I = 2n-1$. Assim:
  • Para $n=1$, temos $I=1$
  • Para $n=2$, temos $I=3$
  • Para $n=3$, temos $I=5$
  • Para $n=4$, temos $I=7$

Para provar esse teorema, podemos utilizar a fórmula para a soma dos $n$ termos de uma progressão aritmética, pois a sequência de números ímpares consecutivos é uma P.A. de razão $2$:
$$
S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}
$$
Como o primeiro termo da sequência é $1$, fazemos $a_1=1$. Assim:
$$
S_n = \frac{(1+a_n)n}{2}
$$
E como o enésimo número ímpar é dado por $2n-1$, fazemos a substituição:
$$
S_n = \frac{(1+2n-1)n}{2}\\
\ \\
S_n = \frac{2n^2}{2}\\
\ \\
S_n = n^2
$$

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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Prova de que a soma dos primeiros n inteiros ímpares é um quadrado. Publicado por Kleber Kilhian em 27/04/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


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Um comentário:

  1. Excelente. Demonstrações fundamentais para auxiliar professores do Ensino Médio

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