05/05/2020

Resolução da integral $\displaystyle \int ax\ e^{bx}dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int ax\ e^{bx}dx = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes diferentes de zero.

Resolução da integral de ax e^bx dx

Seja a integral:
$$
I = \int ax\ e^{bx}dx
$$
Iniciamos fatorando a constante $a$:
$$
I = a \int x\ e^{bx}dx
$$
Para o integrando $x\ e^{bx}$, vamos utilizar o método de integração por partes, onde:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=x$ e $dv = e^{bx}dx$. Assim, temos que $du=dx$ e $\displaystyle v=\frac{e^{bx}}{b}$.

Vimos em outro artigo que a integral de $\displaystyle \int e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}+C$.

Desta forma, temos que:
$$
I = a \left[ \frac{x\ e^{bx}}{b} - \int \frac{e^{bx}}{b}dx \right]\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b} \int e^{bx}dx
$$
Para o integrando $e^{bx}$ vamos utilizar o método de integração por substituição, fazendo $t=bx$. Assim, $dt = b\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{b}\ dt$:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2} \int e^tdt\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2}\ e^t + C
$$
Mas $t=bx$, logo:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{1}{b^2}\ e^{bx}+C\\
\ \\
I = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$

Observações:

Se $b=0$, a função exponencial se degenera em uma função linear e $a$ será o coeficiente angular da reta, pois:
$$
f(x) = ax\ e^{bx}\\
\ \\
f(x) = ax\ e^{0\cdot x}\\
\ \\
f(x) = ax
$$

Exemplo:

Vamos calcular a área sob a curva $f(x) = -5x\ e^{2x}$, no intervalo $[-2, 0]$. Vejam que, neste caso, $a=-5$ e $b=2$.

Resolução da integral x a e ^bx dx no intervalo -2 até 0


Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limite inferior igual a $-2$ e limite superior igual a $0$. Assim:
$$
A = \int_{-2}^{0} -5x\ e^{2x}dx\\
\ \\
$$
Utilizaremos o resultado da integral calculada: $\displaystyle I = \frac{1}{b^2}e^{bx}(bx-1)$.
$$
A = \int_{-2}^0 -5x e^{2x}dx\\
\ \\
A = \left[ -\frac{5}{2^2}e^{2x}(2x-1)\right]_{-2}^{0}\\
\ \\
A = \left[ -\frac{5}{4} \cdot (-1)\right] - \left[ -\frac{5}{4} e^{-4}(-5)\right]\\
\ \\
A = \frac{5}{4} - \frac{25}{4}e^{-4}\\
\ \\
A = \frac{5}{4} - \frac{25}{4e^4}\\
\ \\
A \approx 1,1355
$$
A área procurada vale aproximadamente $1,1355$ unidades de área.
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int ax\ e^{bx}dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 05/05/2020. URL: . Leia os Termos de uso.


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2 comentários:

  1. Muito bom... sou professor de engenharia e acho fantásticos esses artigos. Enriquecedores.

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    1. Olá Erivelto! Agradeço pela gentileza e prestígio. Um abraço!

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