Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int ax\ e^{bx}dx = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes diferentes de zero.
$$
\int ax\ e^{bx}dx = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$
onde $a$ e $b$ são constantes diferentes de zero.
Seja a integral:
$$
I = \int ax\ e^{bx}dx
$$
Iniciamos fatorando a constante $a$:
$$
I = a \int x\ e^{bx}dx
$$
Para o integrando $x\ e^{bx}$, vamos utilizar o método de integração por partes, onde:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=x$ e $dv = e^{bx}dx$. Assim, temos que $du=dx$ e $\displaystyle v=\frac{e^{bx}}{b}$.
Vimos em outro artigo que a integral de $\displaystyle \int e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}+C$.
Desta forma, temos que:
$$
I = a \left[ \frac{x\ e^{bx}}{b} - \int \frac{e^{bx}}{b}dx \right]\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b} \int e^{bx}dx
$$
Para o integrando $e^{bx}$ vamos utilizar o método de integração por substituição, fazendo $t=bx$. Assim, $dt = b\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{b}\ dt$:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2} \int e^tdt\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2}\ e^t + C
$$
Mas $t=bx$, logo:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{1}{b^2}\ e^{bx}+C\\
\ \\
I = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$
$$
f(x) = ax\ e^{bx}\\
\ \\
f(x) = ax\ e^{0\cdot x}\\
\ \\
f(x) = ax
$$
$$
I = \int ax\ e^{bx}dx
$$
Iniciamos fatorando a constante $a$:
$$
I = a \int x\ e^{bx}dx
$$
Para o integrando $x\ e^{bx}$, vamos utilizar o método de integração por partes, onde:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=x$ e $dv = e^{bx}dx$. Assim, temos que $du=dx$ e $\displaystyle v=\frac{e^{bx}}{b}$.
Vimos em outro artigo que a integral de $\displaystyle \int e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}+C$.
Desta forma, temos que:
$$
I = a \left[ \frac{x\ e^{bx}}{b} - \int \frac{e^{bx}}{b}dx \right]\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b} \int e^{bx}dx
$$
Para o integrando $e^{bx}$ vamos utilizar o método de integração por substituição, fazendo $t=bx$. Assim, $dt = b\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{b}\ dt$:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2} \int e^tdt\\
\ \\
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{a}{b^2}\ e^t + C
$$
Mas $t=bx$, logo:
$$
I = \frac{ax\ e^{bx}}{b} - \frac{1}{b^2}\ e^{bx}+C\\
\ \\
I = \frac{a}{b^2}\ e^{bx} (bx-1)+C
$$
Observações:
Se $b=0$, a função exponencial se degenera em uma função linear e $a$ será o coeficiente angular da reta, pois:$$
f(x) = ax\ e^{bx}\\
\ \\
f(x) = ax\ e^{0\cdot x}\\
\ \\
f(x) = ax
$$
Exemplo:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x) = -5x\ e^{2x}$, no intervalo $[-2, 0]$. Vejam que, neste caso, $a=-5$ e $b=2$.
$$
A = \int_{-2}^{0} -5x\ e^{2x}dx\\
\ \\
$$
Utilizaremos o resultado da integral calculada: $\displaystyle I = \frac{1}{b^2}e^{bx}(bx-1)$.
$$
A = \int_{-2}^0 -5x e^{2x}dx\\
\ \\
A = \left[ -\frac{5}{2^2}e^{2x}(2x-1)\right]_{-2}^{0}\\
\ \\
A = \left[ -\frac{5}{4} \cdot (-1)\right] - \left[ -\frac{5}{4} e^{-4}(-5)\right]\\
\ \\
A = \frac{5}{4} - \frac{25}{4}e^{-4}\\
\ \\
A = \frac{5}{4} - \frac{25}{4e^4}\\
\ \\
A \approx 1,1355
$$
A área procurada vale aproximadamente $1,1355$ unidades de área.
Muito bom... sou professor de engenharia e acho fantásticos esses artigos. Enriquecedores.
ResponderExcluirOlá Erivelto! Agradeço pela gentileza e prestígio. Um abraço!
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